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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 10.12.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion f(x)= [mm] \bruch{z^2}{4+z^2} [/mm] in eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n [/mm] . Welchen Konvergenzradius hat diese Potenzreihe? |
Den ersten Teil habe ich hinbekommen:
f(x)= [mm] \bruch{z^2(1)}{z^2(\bruch{4}{z^2}+1)}
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n
[/mm]
ist die Potenzreihe: [mm] \summe_{n=0}{\infty} \bruch{-4^n}{z^2n}
[/mm]
Um den Konvergenzradius anzuwenden müsste man von [mm] a_n [/mm] die n-te Wurzel ziehen. Dies funktioniert ja nicht, weil [mm] a_n [/mm] negativ ist. Kann mir jemand weiterhelfen? Hab ich mich schon vorher vermacht?
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Hallo,
> Entwickeln Sie die Funktion f(x)= [mm]\bruch{z^2}{4+z^2}[/mm] in
> eine Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm] . Welchen
> Konvergenzradius hat diese Potenzreihe?
> Den ersten Teil habe ich hinbekommen:
>
> f(x)= [mm]\bruch{z^2(1)}{z^2(\bruch{4}{z^2}+1)}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n[/mm]
>
> ist die Potenzreihe: [mm]\summe_{n=0}{\infty} \bruch{-4^n}{z^2n}[/mm]
Joa, fast!
Ich denke jedoch, dass du schon den richtigen Weg erkannt hast.
Richtig ist: [mm] f(z)=\bruch{z^2}{4+z^2}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-4)^n}{z^{2n}}
[/mm]
>
> Um den Konvergenzradius anzuwenden müsste man von [mm]a_n[/mm] die
> n-te Wurzel ziehen. Dies funktioniert ja nicht, weil [mm]a_n[/mm]
> negativ ist. Kann mir jemand weiterhelfen? Hab ich mich
> schon vorher vermacht?
Es gibt den schönen Satz:
"Konvergenzradius ist der Abstand von Entwicklungspotenz zur Polstelle."
Polstellen wären hier ja [mm] z_p=\pm2i.
[/mm]
Entwiclkungspunkt ist [mm] z_0=0.
[/mm]
Konvergenzradius ist also?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 10.12.2013 | | Autor: | LisaK |
Also ist der Konvergenzradius r=2i ?
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Hallo,
> Also ist der Konvergenzradius r=2i ?
Was soll ein komplexwertiger Konvergenzradius bedeuten?
Der Konvergenzradius ist eine Zahl [mm] $r\in[0,\infty]$, [/mm] soll heißen, er kann auch unendlich sein.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 10.12.2013 | | Autor: | LisaK |
Achso. Ist dann der Konvergenzradius 2?
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Hallo LisaK,
> Achso. Ist dann der Konvergenzradius 2?
Ja, mit der richtigen Potenzreihe stimmt das.
Siehe dazu die Mitteilung von schachuzipus.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Di 10.12.2013 | | Autor: | LisaK |
Danke ;)
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Hallo,
> Hallo,
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> > Entwickeln Sie die Funktion f(x)= [mm]\bruch{z^2}{4+z^2}[/mm] in
> > eine Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm] . Welchen
> > Konvergenzradius hat diese Potenzreihe?
> > Den ersten Teil habe ich hinbekommen:
> >
> > f(x)= [mm]\bruch{z^2(1)}{z^2(\bruch{4}{z^2}+1)}[/mm]
> >
> > Da [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n[/mm]
> >
> > ist die Potenzreihe: [mm]\summe_{n=0}{\infty} \bruch{-4^n}{z^2n}[/mm]
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> Joa, fast!
>
> Ich denke jedoch, dass du schon den richtigen Weg erkannt
> hast.
>
> Richtig ist: [mm]f(z)=\bruch{z^2}{4+z^2}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-4)^n}{z^{2n}}[/mm]
Ist das denn eine Potenzreihe? Da steht ja [mm]z^{-2n}[/mm], also eine negative Potenz ...
Meine Idee wäre:
[mm]f(z)=\frac{z^2}{4}\cdot{}\frac{1}{1+\left(\frac{z}{2}\right)^2}=\frac{z^2}{4}\cdot{}\frac{1}{1-\left[-\left(\frac{z}{2}\right)^2\right]}=\frac{z^2}{4}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 0}\left[-\left(\frac{z}{2}\right)^2\right]^k=...[/mm]
Gruß
schachuzipus
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