Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] und die Koeffizientenfolge [mm] a_{0},..., a_{5} [/mm] an. Bestimmen Sie außerdem jeweils den Konvergenzradius und -gebiet.
i) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}x^{n}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}(x-1)^{n}
[/mm]
iii) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{ln(n)} [/mm] |
Moin, moin,
also hier was ich bisher gemacht habe:
i) [mm] x_{0}=0 [/mm] , weil nichts angegeben ist. [mm] a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n!}
[/mm]
Konvergenzradius: [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!} [/mm] hier komme ich nicht weiter...?
ii) [mm] x_{0}=1 [/mm] , [mm] a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}
[/mm]
Konvergenzradius: [mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n+1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n}e^{1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n}{(n+1)e^{1}} [/mm] das selbe problem wie i) ; wie mache ich weiter
iii) [mm] x_{0}=0
[/mm]
bei der Koeffizientenfolge dachte ich man muss immer nur das [mm] a_{n} [/mm] abschreiben, aber bei den Lösungen stand nun, dass die Koeffizientenfolge durch [mm] a_{2n}=\bruch{1}{ln(n)} [/mm] und [mm] a_{2n+1}=0 [/mm] . wieso auch Null ?
Danke vorab.
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> Geben Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] und die Koeffizientenfolge
> [mm]a_{0},..., a_{5}[/mm] an. Bestimmen Sie außerdem jeweils den
> Konvergenzradius und -gebiet.
>
> i) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}x^{n}[/mm]
>
> ii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}(x-1)^{n}[/mm]
>
> iii) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{ln(n)}[/mm]
> Moin,
> moin,
Hallo,
>
> also hier was ich bisher gemacht habe:
>
> i) [mm]x_{0}=0[/mm] , weil nichts angegeben ist.
> [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n!}[/mm]
>
> Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!}[/mm]
> hier komme ich nicht weiter...?
Zunächst einmal hast du anfangs noch richtig die Betragsstriche gesetzt, diese sind aber dann plötzlich verschwunden.... also was passiert mit der -1 ?
Wie ist denn die Fakultät ! definiert? Wenn du die Definiton anwendest, dann kannst du noch ganz viel kürzen.
>
> ii) [mm]x_{0}=1[/mm] , [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}[/mm]
>
> Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n+1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n}e^{1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n}{(n+1)e^{1}}[/mm]
> das selbe problem wie i) ; wie mache ich weiter
>
Betrag vergessen, wie oben. Um den GW von [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] auszurechnen klammere im Zähler und Nenner n aus, kürze und mache dann den Grenzübergang [mm] n\to\infty. [/mm]
>
> iii) [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> bei der Koeffizientenfolge dachte ich man muss immer nur
> das [mm]a_{n}[/mm] abschreiben, aber bei den Lösungen stand nun,
> dass die Koeffizientenfolge durch [mm]a_{2n}=\bruch{1}{ln(n)}[/mm]
> und [mm]a_{2n+1}=0[/mm] . wieso auch Null ?
>
>
Beachte hier, dass beim Exponenten von x jeweils 2n steht, also 4, 6, 8, 10, 12, ..... Ungerade Exponenten tauchen gar nicht auf. Klar, wie man nun auf die Koeffizienten kommt?
Gruß Patrick
> Danke vorab.
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> > Geben Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den
> > Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] und die Koeffizientenfolge
> > [mm]a_{0},..., a_{5}[/mm] an. Bestimmen Sie außerdem jeweils den
> > Konvergenzradius und -gebiet.
> >
> > i) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}x^{n}[/mm]
> >
> > ii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}(x-1)^{n}[/mm]
>
> >
> > iii) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{ln(n)}[/mm]
> >
> Moin,
> > moin,
>
> Hallo,
>
>
> >
> > also hier was ich bisher gemacht habe:
> >
> > i) [mm]x_{0}=0[/mm] , weil nichts angegeben ist.
> > [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n!}[/mm]
> >
> > Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!}[/mm]
> > hier komme ich nicht weiter...?
>
> Zunächst einmal hast du anfangs noch richtig die
> Betragsstriche gesetzt, diese sind aber dann plötzlich
> verschwunden.... also was passiert mit der -1 ?
> Wie ist denn die Fakultät ! definiert? Wenn du die
> Definiton anwendest, dann kannst du noch ganz viel
> kürzen.
>
> >
> > ii) [mm]x_{0}=1[/mm] , [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}[/mm]
> >
> > Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n+1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n}e^{1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n}{(n+1)e^{1}}[/mm]
> > das selbe problem wie i) ; wie mache ich weiter
> >
>
> Betrag vergessen, wie oben. Um den GW von [mm]\frac{n}{n+1}[/mm]
> auszurechnen klammere im Zähler und Nenner n aus, kürze
> und mache dann den Grenzübergang [mm]n\to\infty.[/mm]
die vergisst man leicht^^
>
> >
> > iii) [mm]x_{0}=0[/mm]
> >
> > bei der Koeffizientenfolge dachte ich man muss immer nur
> > das [mm]a_{n}[/mm] abschreiben, aber bei den Lösungen stand nun,
> > dass die Koeffizientenfolge durch [mm]a_{2n}=\bruch{1}{ln(n)}[/mm]
> > und [mm]a_{2n+1}=0[/mm] . wieso auch Null ?
> >
> >
>
> Beachte hier, dass beim Exponenten von x jeweils 2n steht,
> also 4, 6, 8, 10, 12, ..... Ungerade Exponenten tauchen gar
> nicht auf. Klar, wie man nun auf die Koeffizienten kommt?
irgendwie nicht. du hast den exponenten von x betrachtet und dann kommt jeweils 4,6,8,10... etc. ja, aber was hat das mit dem [mm] a_{n} [/mm] zu tun? das [mm] a_{n} [/mm] müsste doch schlicht [mm] \bruch{1}{ln(n)} [/mm] sein.
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>
> Gruß Patrick
>
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>
>
> > Danke vorab.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du nur [mm] x^{2n}=(x^2)^n [/mm] hast rechnest du den konvergenzradius für [mm] x^2 [/mm] aus.
gruss leduart
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Eine "normale" Potenzreihe hat die Form (Beginn bei n=2):
[mm] f(x)=a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6
[/mm]
Steht nun im Exponenten 2n, so kommt man auf:
[mm] g(x)=b_2x^4+b_3x^6+b_4x^8
[/mm]
D.h. alle [mm] a_3=a_5=a_7=....=0, [/mm] da wir keine entsprechende Potenz von x in unserer Funktion g haben.
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> > Geben Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den
> > Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] und die Koeffizientenfolge
> > [mm]a_{0},..., a_{5}[/mm] an. Bestimmen Sie außerdem jeweils den
> > Konvergenzradius und -gebiet.
> >
> > i) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}x^{n}[/mm]
> >
> > ii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}(x-1)^{n}[/mm]
>
> >
> > iii) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{ln(n)}[/mm]
> >
> Moin,
> > moin,
>
> Hallo,
>
>
> >
> > also hier was ich bisher gemacht habe:
> >
> > i) [mm]x_{0}=0[/mm] , weil nichts angegeben ist.
> > [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n!}[/mm]
> >
> > Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!}[/mm]
> > hier komme ich nicht weiter...?
>
> Zunächst einmal hast du anfangs noch richtig die
> Betragsstriche gesetzt, diese sind aber dann plötzlich
> verschwunden.... also was passiert mit der -1 ?
> Wie ist denn die Fakultät ! definiert? Wenn du die
> Definiton anwendest, dann kannst du noch ganz viel
> kürzen.
Ich habe beim wiki-artikel nix gefunden, was relevant für meine aufgabe wäre. vllt. könnt Ihr mir ja ein Artikel empfehlen.
hier nochmals, wo es hakt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!}=...
[/mm]
>
> >
> > ii) [mm]x_{0}=1[/mm] , [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}[/mm]
> >
> > Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n+1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n}e^{1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n}{(n+1)e^{1}}[/mm]
> > das selbe problem wie i) ; wie mache ich weiter
> >
>
> Betrag vergessen, wie oben. Um den GW von [mm]\frac{n}{n+1}[/mm]
> auszurechnen klammere im Zähler und Nenner n aus, kürze
> und mache dann den Grenzübergang [mm]n\to\infty.[/mm]
>
> >
> > iii) [mm]x_{0}=0[/mm]
> >
> > bei der Koeffizientenfolge dachte ich man muss immer nur
> > das [mm]a_{n}[/mm] abschreiben, aber bei den Lösungen stand nun,
> > dass die Koeffizientenfolge durch [mm]a_{2n}=\bruch{1}{ln(n)}[/mm]
> > und [mm]a_{2n+1}=0[/mm] . wieso auch Null ?
> >
> >
>
> Beachte hier, dass beim Exponenten von x jeweils 2n steht,
> also 4, 6, 8, 10, 12, ..... Ungerade Exponenten tauchen gar
> nicht auf. Klar, wie man nun auf die Koeffizienten kommt?
>
>
> Gruß Patrick
>
>
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>
>
> > Danke vorab.
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Hallo monstre123,
> > > Geben Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den
> > > Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] und die Koeffizientenfolge
> > > [mm]a_{0},..., a_{5}[/mm] an. Bestimmen Sie außerdem jeweils den
> > > Konvergenzradius und -gebiet.
> > >
> > > i) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}x^{n}[/mm]
> >
> >
> > > ii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}(x-1)^{n}[/mm]
>
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> > >
> > > iii) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{ln(n)}[/mm]
> > >
> > Moin,
> > > moin,
> >
> > Hallo,
> >
> >
> > >
> > > also hier was ich bisher gemacht habe:
> > >
> > > i) [mm]x_{0}=0[/mm] , weil nichts angegeben ist.
> > > [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n!}[/mm]
> > >
> > > Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n!}{(n+1)! (-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!}[/mm]
> > > hier komme ich nicht weiter...?
> >
> > Zunächst einmal hast du anfangs noch richtig die
> > Betragsstriche gesetzt, diese sind aber dann plötzlich
> > verschwunden.... also was passiert mit der -1 ?
> > Wie ist denn die Fakultät ! definiert? Wenn du die
> > Definiton anwendest, dann kannst du noch ganz viel
> > kürzen.
>
> Ich habe beim wiki-artikel nix gefunden, was relevant für
> meine aufgabe wäre. vllt. könnt Ihr mir ja ein Artikel
> empfehlen.
> hier nochmals, wo es hakt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n!}{(n+1)!}=...[/mm]
Du nimmst doch Beträge, damit verschwinden alle -1 (werden zu 1)
Du hast also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}[/mm]
Es ist [mm](n+1)!=n!\cdot{}(n+1)[/mm]
Der Hinweis, dass du dir anschauen solltest, wie die Fakultät definiert ist, steht oben.
Was daran so fatal schwierig ist, sehe ich nicht.
Was ergibt sich nun als GW?
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> > > ii) [mm]x_{0}=1[/mm] , [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{n*e^{n}}[/mm]
> > >
> > > Konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{R}[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n+1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n+1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{n}(-1)^{1} n*e^{n}}{(n+1)e^{n}e^{1}(-1)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{1} n}{(n+1)e^{1}}[/mm]
> > > das selbe problem wie i) ; wie mache ich weiter
> > >
> >
> > Betrag vergessen, wie oben. Um den GW von [mm]\frac{n}{n+1}[/mm]
> > auszurechnen klammere im Zähler und Nenner n aus, kürze
> > und mache dann den Grenzübergang [mm]n\to\infty.[/mm]
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> > > iii) [mm]x_{0}=0[/mm]
> > >
> > > bei der Koeffizientenfolge dachte ich man muss immer nur
> > > das [mm]a_{n}[/mm] abschreiben, aber bei den Lösungen stand nun,
> > > dass die Koeffizientenfolge durch [mm]a_{2n}=\bruch{1}{ln(n)}[/mm]
> > > und [mm]a_{2n+1}=0[/mm] . wieso auch Null ?
> > >
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> >
> > Beachte hier, dass beim Exponenten von x jeweils 2n steht,
> > also 4, 6, 8, 10, 12, ..... Ungerade Exponenten tauchen gar
> > nicht auf. Klar, wie man nun auf die Koeffizienten kommt?
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> > Gruß Patrick
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> >
> >
> > > Danke vorab.
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Gruß
schachuzipus
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