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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius:
[mm] a)\summe_{n=1}^\infty (\produkt_{k=1}^{n} (1+\bruch{1}{k})^k [/mm] ) [mm] (x+2)^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{2^n}{n^2} (x-1)^{5n} [/mm] |
Hi,
zur a) : Echt keine Idee, habe die ersten Glieder der Produktreihe berechnet aber keine System gesehen, womit ich die Produktreihe vereinfachen kann. Wenn ich das Produkt nicht vereinfach kann, weiß ich jedoch nicht wie ich mit ihm umgehen soll.
zu b) :
definiere z:= [mm] (x-1)^5
[/mm]
=> [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{2^n}{n^2} (x-1)^{5n} =\summe_{n=1}^\infty \bruch{2^n}{n^2} z^{n}
[/mm]
Wegen lim [mm] \wurzel[n]{|\bruch{2^n}{n^2}|} [/mm] = lim [mm] |\bruch{2}{\wurzel[n]{nn}}| [/mm] = 2 => konvergenz für |z| < 0,5 <=> [mm] |x|<\wurzel[5]{0,5}
[/mm]
ist das so in Ordnung?
Snafu
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Hallo Snafu,
eine Teilantwort zu b) ...
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius:
> [mm]a)\summe_{n=1}^\infty (\produkt_{k=1}^{n} (1+\bruch{1}{k})^k[/mm]
> ) [mm](x+2)^n[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{2^n}{n^2} (x-1)^{5n}[/mm]
> Hi,
>
> zur a) : Echt keine Idee, habe die ersten Glieder der
> Produktreihe berechnet aber keine System gesehen, womit ich
> die Produktreihe vereinfachen kann. Wenn ich das Produkt
> nicht vereinfach kann, weiß ich jedoch nicht wie ich mit
> ihm umgehen soll.
>
> zu b) :
> definiere z:= [mm](x-1)^5[/mm]
> => [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{2^n}{n^2} (x-1)^{5n} =\summe_{n=1}^\infty \bruch{2^n}{n^2} z^{n}[/mm]
>
> Wegen lim [mm]\wurzel[n]{|\bruch{2^n}{n^2}|}[/mm] = lim
> [mm]|\bruch{2}{\wurzel[n]{nn}}|[/mm] = 2 => konvergenz für |z| <
> 0,5 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") <=> [mm]|x|<\wurzel[5]{0,5}[/mm]
Nee, [mm] $|x-1|<\sqrt[5]{0,5}$ [/mm] ...
> ist das so in Ordnung?
Fast ... hast dich verschrieben ...
>
> Snafu
LG
schachuzipus
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hi,
weiter kann ich da nicht gehen oder? Also sprich, die -1 wegkriegen ?
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Hallo nochmal,
> hi,
>
> weiter kann ich da nicht gehen oder? Also sprich, die -1
> wegkriegen ?
Doch natürlich.
Mal dir am Zahlenstrahl auf, wass $|x-a|<m$ bedeutet (oder löse schematisch die Betragsungleichung)!
$|x-a|<m$ erfüllen alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] die von a einen Abstand kleiner als m haben ...
Nun? ...
Gruß
schachuzipus
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Hi,
also heißt das einfach, dass x [mm] \in (-1+\wurzel[5]{0,5} [/mm] , -1 - [mm] \wurzel[5]{0,5}) [/mm] ist also in einem Intervall um -1 liegt?
Snafu
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Hallo nochmal,
> Hi,
> also heißt das einfach, dass x [mm]\in (-1+\wurzel[5]{0,5}[/mm] ,
> -1 - [mm]\wurzel[5]{0,5})[/mm] ist also in einem Intervall um -1
> liegt? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da steht doch [mm] $|x\red{-}1|$ [/mm] und nicht [mm] $|x\red{+}1|$
[/mm]
Ich hatte doch geschrieben, was $|x-a|<m$ bedeutet ...
Also wie ist's hier?
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Verwende hier das Quotientenkriterium bzw. die Quotientenformel für den Konvergenzradius.
Gruß
Loddar
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Hi,
oh man bin ich blöd....
ok dann kürzt sich alles weg.
lim | [mm] \bruch{ \produkt_{k=1}^{n+1}(1+\bruch{1}{k})^k}{(\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k}| [/mm] = lim | [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] = 1
=> Konvergenz für |x+2| <1 <=> für x [mm] \in [/mm] (1,3)
passt's?
Sanfu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
> ok dann kürzt sich alles weg.
Naja, fast alles ...
> lim | [mm]\bruch{ \produkt_{k=1}^{n+1}(1+\bruch{1}{k})^k}{(\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k}|[/mm] = lim | [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm]
Bis hierhin stimmt es. Der Grenzwert ist jedoch verkehrt!
Schließlich sollte der Grenzwert [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{k}\right)^k$ [/mm] kein Unbekannter sein.
Gruß
Loddar
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Hmm..
entweder ich stehe grad auf dem Schlauch, oder ich hatte mit der Folge wirklich noch nicht zu tun. Dachte wegen [mm] lim\bruch{1}{n} [/mm] = 0 , also weil in der Klammer eine Nullfolge ist und somit nur die 1 übrig bleibt bewirkt die Potenz auf der Klammer nichts und es bleibt bei der 1.
Snafu
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Hallo,
![[]](/images/popup.gif) e
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Mist!!!
Danke!! :)
Snafu
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