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| Aufgabe | Konvergenzradius bestimmen:
[mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{4^{n+1}}{\pi^{n+2}} *x^{n+3}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} 9*x^{9*n}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{x^{2*n}}{n!} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei den oben angegebenen Reihen Probleme den Konvergenzradius zu bestimmten. Ich wollte das mit folgender Formel machen:
R=lim [mm] sup(n->\infty) (\wurzel[n]{|a_{n}|})^{-1}
[/mm]
Allerdings bleibt dabei doch was bei x im Exponent steht unberücksichtigt. Wie bekomme ich die richtige Radien raus?
Vielen Dank für Eure Mühe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur 1. Reihe: Ziehe [mm] x^3 [/mm] vor die Summe
Zur 2. Reihe: Substituiere [mm] $z:=x^9$
[/mm]
Zur 3. Reihe: Substituiere [mm] $z:=x^2$
[/mm]
FRED
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ist folgendes korrekt?
2) R=1
3) R=1
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Hallo Moritz,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Ist folgendes korrekt?
>
> 2) R=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3) R=1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das solltest du mal vorrechnen ...
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für die Antwort.
So nun meine Rechenwege:
zu 1) $ [mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{4^{n+1}}{\pi^{n+2}} \cdot{}x^{n+3} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{4^{n+1}}{\pi^{n+2}} \cdot{}x^{n}*x^{3} [/mm] $
1/R [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{3}*4^{n+2}*\pi^{n+2}}{\pi^{n+3}*x^{3}*4^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] --> [mm] R=\bruch{4}{\pi}
[/mm]
zu 3) $ [mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{x^{2\cdot{}n}}{n!} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{z^{n}}{n!} [/mm] $ [mm] z=x^{2}
[/mm]
1/R [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{(n+1)!}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n+1)} [/mm] = 0 --> R = [mm] \infty
[/mm]
Ich habe hier jetzt allerdings nicht die oben beschriebene Formel zur Berechnung ders Konvergenzradius' benutzt. Das dürfte aber doch im Allgemeinen keine Rolle spielen? -Oder gibt es Ausnahmen?
Vielen Dank für die Mühe
Moritz
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> Vielen Dank für die Antwort.
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> So nun meine Rechenwege:
>
> zu 1) [mm]\summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{4^{n+1}}{\pi^{n+2}} \cdot{}x^{n+3}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{4^{n+1}}{\pi^{n+2}} \cdot{}x^{n}*x^{3}[/mm]
>
> 1/R [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{3}*4^{n+2}*\pi^{n+2}}{\pi^{n+3}*x^{3}*4^{n+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] --> [mm]R=\bruch{4}{\pi}[/mm]
Hallo,
richtig.
>
> zu 3) [mm]\summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{x^{2\cdot{}n}}{n!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n=\infty} \bruch{z^{n}}{n!}[/mm] [mm]z=x^{2}[/mm]
>
> 1/R
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{(n+1)!}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n+1)}[/mm]
> = 0 --> R = [mm]\infty[/mm]
Daß Du substituiert hast, spielt hier jetzt "zufälligerweise" keine Rolle mehr.
Aber mal zu Sicherheit: Angenommen, Du hättest substituiert [mm] z=x^2 [/mm] und für die substituierte Reihe R=2 ausgerechnet.
Dann wüßtest Du: die Reihe ist konvergent für [mm] |x^2|=|z|<2 [/mm] , also konvergent für [mm] |x|<\wurzel{2}, [/mm] und damit w
äre der gefragte Konvergenzradius [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Dies nur zur Sicherheit.
>
> Ich habe hier jetzt allerdings nicht die oben beschriebene
> Formel zur Berechnung ders Konvergenzradius' benutzt.
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
Das
> dürfte aber doch im Allgemeinen keine Rolle spielen? -Oder
> gibt es Ausnahmen?
>
> Vielen Dank für die Mühe
> Moritz
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