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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Bestimme den konvergenzradius folgender Potenzreihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}})*z^{k} [/mm] a,b > 0
Nun habe ich folgendes bekommen:
[mm] R=\limsup_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{(\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}})} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}}) [/mm] / [mm] (\bruch{1+a^{k+1}}{1+b^{k+1}}) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} ((\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}}) [/mm] * [mm] (\bruch{1+a^{k+1}}{1+b^{k+1}}))
[/mm]
Doch wie geht es nun weiter????
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Do 22.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen
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> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme den konvergenzradius folgender Potenzreihe:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}})*z^{k}[/mm] a,b > 0
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> Nun habe ich folgendes bekommen:
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> [mm]R=\limsup_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{(\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}})}=\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}}) / (\bruch{1+a^{k+1}}{1+b^{k+1}}) = \limes_{k\rightarrow\infty} ((\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}}) * (\bruch{1+a^{k+1}}{1+b^{k+1}}))[/mm]
Erst einmal hast du zwei verschiedene Kriterien durcheinander geworfen: Wurzelkriterium und Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Cauchy-Hadamard sagt:
[mm] \red{\bruch{1}{R}} = \limsup_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}}} [/mm]
Da alle Koeffizienten [mm] $\not=0$ [/mm] sind, darfst du stattdessen auch das Wurzelkriterium verwenden:
[mm] R = \limes_{k\rightarrow\infty} \left(\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}}\right) / \left(\bruch{1+a^{k+1}}{1+b^{k+1}}\right) = \limes_{k\rightarrow\infty} \left(\bruch{1+a^{k}}{1+b^{k}} * \bruch{1+\red{b}^{k+1}}{1+\red{a}^{k+1}}\right)[/mm]
An dieser Stelle solltest du die Fälle $a<1$, $a=1$, $a>1$ unterscheiden, und unabhängig davon $b<1$, $b=1$, $b>1$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer
Muss ich wirklich in Fälle unterscheiden? Kann ich dies nicht allgemein darstellen?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Muss ich wirklich in Fälle unterscheiden? Kann ich dies
> nicht allgemein darstellen?
Am Schluss kansst du deine Ergebnisse zusammenfassen. Wesentlich sind die Unterscheidungen [mm] $a\le1$, [/mm] $a>1$ und [mm] $b\le1$, [/mm] $b>1$.
Viele Grüße
Rainer
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