Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius:
[mm] \summe_{n=2010}^{\infty}(1+\pi^{n}n²)x^n [/mm] |
Erstmal eine sehr banale Frage:
Ist es egal wo die Summe losgeht, also ob hier n=1 oder eben n=2010 steht?
Ich denke mal ja?!
Hier meine Rechnung zu dieser Aufgabe:
[mm] a_n=1+\pi^{n}n²
[/mm]
[mm] =>\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\pi^{n}n²}{1+\pi^{n+1}(n+1)²}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\pi^{n}n²(\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1)}{\pi^{n+1}(n²+2n+1)\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n²(\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1)}{\pi n²(1+2/n+1/n²)\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1}{(1+2/n+1/n²)\bruch{1}{\pi^{n}(n+1)²}}
[/mm]
Hier sieht man dann, dass der Zähler gegen 1 Läuft und der Nenner gegen 0 => Konvergenzradium ist [mm] \infty.
[/mm]
Mach ich hier alles soweit richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Do 11.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius:
> [mm]\summe_{n=2010}^{\infty}(1+\pi^{n}n²)x^n[/mm]
> Erstmal eine sehr banale Frage:
> Ist es egal wo die Summe losgeht, also ob hier n=1 oder
> eben n=2010 steht?
> Ich denke mal ja?!
Da hast Du recht
>
> Hier meine Rechnung zu dieser Aufgabe:
> [mm]a_n=1+\pi^{n}n²[/mm]
>
> [mm]=>\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\pi^{n}n²}{1+\pi^{n+1}(n+1)²}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\pi^{n}n²(\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1)}{\pi^{n+1}(n²+2n+1)\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n²(\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1)}{\pi n²(1+2/n+1/n²)\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1}{(1+2/n+1/n²)\bruch{1}{\pi^{n}(n+1)²}}[/mm]
>
> Hier sieht man dann, dass der Zähler gegen 1 Läuft und der
> Nenner gegen 0 => Konvergenzradium ist [mm]\infty.[/mm]
> Mach ich hier alles soweit richtig?
Nein. Rechne nochmal, es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=1
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ok, ich habe einen meiner Fehler gefunden, jedoch komme ich wieder nicht auf 1:
[mm] a_n=1+\pi^{n}n²
[/mm]
[mm] =>\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\pi^{n}n²}{1+\pi^{n+1}(n+1)²}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\pi^{n}n²(\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1)}{\pi^{n+1}(n²+2n+1)(\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n²(\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1)}{\pi n²(1+2/n+1/n²)(\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{\pi^{n}n²}+1}{\pi(1+2/n+1/n²)\bruch{1}{\pi^{n+1}(n+1)²}+1}=1/\pi
[/mm]
Ist leider nicht 1, nur finde ich meine Fehler einfach nicht.
evlt ist es euch zu mühsam hier jeder Einzelschritt nachzurechnen und zu verstehen, was ich hier getrieben habe.
Wenn das der Fall ist gebt bitte kurz bescheit, dann werde ich jeden meiner Schritte eklären, damit es leichter nachzuvollziehen ist.
|
|
|
| |
|
Hallo xtraxtra!
Dein Ergebnis sieht gut aus. Ich kann keinen Fehler entdecken (außer das fehlende Klammerpaar im Nenner des letzten Bruches).
Damit ist der Quotient bei [mm] $\bruch{1}{\pi} [/mm] \ < \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
