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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(i) [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}x^n [/mm] , k [mm] \in \IN_0
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}{a^{n!}x^n}. [/mm] für a [mm] \in \mathbb{R} \setminus \{0\} [/mm] |
Meide Idee:
(i) [mm] a_n [/mm] = [mm] \vektor{n+k \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{(n+k)!}{k!(n+k-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+k)!}{k!n!}
[/mm]
Nun wissen wir dass der Konvergenzradius R wie folgt bestimmt wird:
R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
Also R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{(n+k)!}{k!n!}
}{\bruch{(n+1+k)!}{k!(n+1)!}
}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+k)!}{k!n!}*\bruch{k!(n+1)!}{(n+1+k)!}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n+1+k} [/mm] = 1
Also R = 1,
bin ich damit fertig?
oder muss ich jetzt noch angeben für welche X die Reihe konvergiert? also X [mm] \in [/mm] (-1,1), und dann noch den Rand untersuchen ob für -1, und 1 konvergenz oder divergenz vorliegt?
zu (ii)
Iwie komm ich da nicht weiter. Meine Berechnungen ergeben
[mm] \bruch{1}{R} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a^{n!}|} [/mm] = [mm] a^{(n-1)!} \to \begin{cases}\infty, & \mbox{für } a > 1 \\ 1, & \mbox{für } a = 1\\
0, & \mbox{für } a \in (-1,1) \backslash {0} \\
divergent, & \mbox{für } a = -1\\
bestimmt divergent, & \mbox{für } a < -1 \end{cases}
[/mm]
Also Konvergenzradius R = [mm] \begin{cases}0 & \mbox{für } a > 1 \mbox{also immer divergenz für alle x?} \\
1, & \mbox{für } a = 1\\
\infty, & \mbox{für } a \in (-1,1) \backslash {0} \mbox{also immer Konvergenz für alle x?} \\
divergent & \mbox{für } a = -1\\
0 & \mbox{für } a < -1 \end{cases}
[/mm]
Ist damit die Aufgabe gelöst?? Mit der Quotientenvariante zur Berechnung von R, steh ich vor genau so einer Fallunterscheidung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen:
>
> (i) [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}x^n[/mm] , k [mm]\in \IN_0[/mm]
>
>
> (ii) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{a^{n!}x^n}.[/mm] für a [mm]\in \mathbb{R} \setminus \{0\}[/mm]
> Meide Idee:
>
> (i) [mm]a_n[/mm] = [mm]\vektor{n+k \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{(n+k)!}{k!(n+k-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+k)!}{k!n!}[/mm]
>
> Nun wissen wir dass der Konvergenzradius R wie folgt
> bestimmt wird:
>
> R = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> Also R = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{(n+k)!}{k!n!}
}{\bruch{(n+1+k)!}{k!(n+1)!}
}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+k)!}{k!n!}*\bruch{k!(n+1)!}{(n+1+k)!}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n+1+k}[/mm] = 1
>
> Also R = 1,
>
> bin ich damit fertig?
> oder muss ich jetzt noch angeben für welche X die Reihe
> konvergiert? also X [mm]\in[/mm] (-1,1), und dann noch den Rand
> untersuchen ob für -1, und 1 konvergenz oder divergenz
> vorliegt?
Die Aufgabenstellung lautet doch:
" Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen"
Du bist also fertig.
>
>
> zu (ii)
> Iwie komm ich da nicht weiter. Meine Berechnungen ergeben
> [mm]\bruch{1}{R}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a^{n!}|}[/mm]
> = [mm]a^{(n-1)!} \to \begin{cases}\infty, & \mbox{für } a > 1 \\ 1, & \mbox{für } a = 1\\
0, & \mbox{für } a \in (-1,1) \backslash {0} \\
divergent, & \mbox{für } a = -1\\
bestimmt divergent, & \mbox{für } a < -1 \end{cases}[/mm]
>
> Also Konvergenzradius R = [mm]\begin{cases}0 & \mbox{für } a > 1 \mbox{also immer divergenz für alle x?} \\
1, & \mbox{für } a = 1\\
\infty, & \mbox{für } a \in (-1,1) \backslash {0} \mbox{also immer Konvergenz für alle x?} \\
divergent & \mbox{für } a = -1\\
0 & \mbox{für } a < -1 \end{cases}[/mm]
>
Du machst oben einen Fehler (Beträge !!). Es ist
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a^{n!}|} [/mm] $ = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|a|^{(n-1)!}
[/mm]
Damit haben wir:
Für |a|>1 ist R = 0,
für |a|=1 ist R=1
und
für |a| <1 ist R = [mm] \infty
[/mm]
FRED
> Ist damit die Aufgabe gelöst?? Mit der Quotientenvariante
> zur Berechnung von R, steh ich vor genau so einer
> Fallunterscheidung.
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