Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Fr 21.11.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle z [mm] \in \IC [/mm] für die die Reihe [mm] \sum^{\infty}_{n=0}{\bruch{z^n}{1+z^{2n}}} [/mm] konvergent ist. |
Hallo Leute,
mir ist klar, dass ich den Konvergenzradius berechnen muss, und danach den Rand betrachten muss, um zu gucken, ob die Reihe auf dem Rand konvergiert oder divergiert.
Die Beispiele, die wir in der Übung dazu gerechnet haben, waren [mm] \sum_{n=1}^{\infty}{\bruch{z^n}{n^2}} [/mm] und [mm] \sum_{n=1}^{\infty}{n(n+1)z^n} [/mm] also immer der Form [mm] \sum_{n=0}^{\infty}{a_n(z-z_0)^n}, [/mm] wie ich Potenzreihen kenne...
Mein Problem ist also: Wie schaffe ich es [mm] \sum^{\infty}_{n=0}{\bruch{z^n}{1+z^{2n}}} [/mm] auf diese Form zu bringen? Oder ist etwa der Nenner [mm] 1+z^{2n} [/mm] mein [mm] a_n?
[/mm]
LG, der cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie alle z [mm]\in \IC[/mm] für die die Reihe
> [mm]\sum^{\infty}_{n=0}{\bruch{z^n}{1+z^{2n}}}[/mm] konvergent ist.
> Hallo Leute,
>
> mir ist klar, dass ich den Konvergenzradius berechnen muss,
> und danach den Rand betrachten muss, um zu gucken, ob die
> Reihe auf dem Rand konvergiert oder divergiert.
>
> Die Beispiele, die wir in der Übung dazu gerechnet haben,
> waren [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{\bruch{z^n}{n^2}}[/mm] und
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}{n(n+1)z^n}[/mm] also immer der Form
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}{a_n(z-z_0)^n},[/mm] wie ich Potenzreihen
> kenne...
>
> Mein Problem ist also: Wie schaffe ich es
> [mm]\sum^{\infty}_{n=0}{\bruch{z^n}{1+z^{2n}}}[/mm] auf diese Form
> zu bringen?
Das wirst Du nicht schaffen, denn die vorgelegte Reihe ist keine Potenzreihe
Tipp: Betrachte die Fälle z=0, 0<|z|<1 und |z| > 1. Wie siehts mit |z|=1 aus ?
FRED
> Oder ist etwa der Nenner [mm]1+z^{2n}[/mm] mein [mm]a_n?[/mm]
>
> LG, der cauchy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Di 25.11.2008 | | Autor: | cauchy |
Ok... für |z|=0 konvergiert die Reihe ja offensichtlich. Aber wie funktionieren die anderen Fälle?? Ich weiß nicht wie ich den Fall 0<|z|<1 behandeln soll usw.
Gibt es vielleicht auch eine andere Möglichkeit? Wir haben schon versucht irgendwas mit der geometrischen Reihe bei dieser Aufgabe anzufangen... sind aber auch nicht weitergekommen.
Dankbar für jeden Tipp, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo cauchy!
Vornweg: was ist mit dem Fall $|z| \ > \ 1$ ?
Für den Fall $|z| \ < \ 1$ musst Du nun eines der bekannten Konvergenzkriterien für Reihen (wie z.B. Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium) anwenden.
Gruß
Loddar
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