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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Di 18.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{(n!)^{2}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k})^k z^{k}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{2n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte gerne die Konvergenzradien der obigen Reihen berechnen.
Die einzige Formel, die ich kenne, ist diese:
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}}
[/mm]
Mein Tutor hat gesagt, dass man in der Folge [mm] a_{n} [/mm] das [mm] z^{n} [/mm] weglässt.
Aufgabe a) konnte ich so wunderbar berechnen und komme aufs richtige Ergebnis (habs nur als Beispiel gepostet, doch
Aufgabe b) macht mir Probleme, weil da die Potenz drinsteckt. Ich bleib bei der Berechnung mittendrin hängen.
bei Aufgabe c) verstehe ich nicht, ob ich hier jetzt das [mm] x^{2n} [/mm] einfach weglassen darf wie vorher das [mm] z^{n}. [/mm] Wenn ich das tu, komm ich aufs falsche Ergebnis, nämlich auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , als richtige Lösung hat unsre Professorin allerdings [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] genannt.
Über eure Hilfen bin ich sehr dankbar ;)
viele grüße,
matti
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich möchte hier keine Werbung machen, aber vielleicht hilft dir diese Leseprobe  :
![[]](/images/popup.gif) Potenzreihen
Das steht auch noch eine zweite Möglichkeit drin, den Konvergenzradius zu bestimmen, vielleicht kommst du dann eher auf deine [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Noch ein Nachtrag:
Mit Hilfe der Konvergenzradiusbestimmung will man ja testen, für welche gewählten x die Reihe noch konvergiert. Hat man also den Radius bestimmt weiß man, dass x auf keinen Fall größer als dieser Radius sein darf, weil sonst die Reihe konvergiert.
Bei c) würde ich so zunächst bei [mm] x^{2n} [/mm] = [mm] \left(x^{2}\right) [/mm] die Substitution [mm] x^{2} [/mm] = z vorschlagen. Du bestimmst dann den Konvergenzradius von z (was dir nicht schwerfallen dürfte) und dann weißt du aber, dass dieses Ergebnis sich nochmal einer Wurzel unterziehen muss, damit du auch weißt, für welche x die Reihe noch konvergiert.
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Hey,
bei b) und c) solltest du die Formel von Cauchy-Hadamard anwenden:
[mm] r=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
Aufgrund der Wurzel fällt dann die Potenz jeweils weg und du erhälst den Konvergenzradius recht einfach.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Di 18.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
okay, vielen Dank, ich hab die Aufgaben inzwischen so gelöst:
bei b) habe ich wie ihr beschrieben habt den Kehrwert des Wurzelkriteriums angewendet, ich wusste heute morgen noch nicht, dass es auch so geht. Danke ;)
und bei c) habe ich das [mm] x^{2n} [/mm] = [mm] (x^{2})^{n} [/mm] weggelassen und mir gedacht, dass mein z von Aufgabe a) jetzt quasi mein [mm] x^{2} [/mm] ist.
Also bekomme ich ja den Konvergenzradius jetzt ja im Quadrat, was zu meinem falschen Ergebnis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] geführt hat.
Um den Konvergenzradius zu bestimmen, muss man nur noch die Wurzel ziehen, was dann zum genannten Ergebnis [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] führt.
Danke für eure Hilfen!
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