Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Fr 14.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | | [mm] 3z^{2}-\bruch{3^2}{2}*z^{4}+\bruch{3^3}{3}*z^{6}-\bruch{3^4}{4}*z^{8}+\bruch{3^5}{5}*z^{10} [/mm] ....... |
Das erinnert ja sehr an die Reihe [mm] log(1+3x^2)= \summe_{K=1}^{\infty}\bruch{3*(-1)^k-1}{k}*(x^{2k})
[/mm]
Jetzt die Frage. Die Lösung meiner alaten Klausur sagt mir, dass man mit Cauchy Hadamard auf [mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[2k]{\bruch{2}{k}*3^{\bruch{k}{2}}}} [/mm] kommt.
Wobei der limes superior gemeint ist.
Ich bekomme die mathematische Umformung so nicht hin! Dass es die 2k'te wurzel aus [mm] a_{k} [/mm] sein muss ist klar, dann würde ich die 2.Wurzel reinziehen und hab nur noch die k'te wurzel dastehen. Aber ich komme so oder so nicht auf das Ergebnis.
Die andere Möglichkeit ist ja über Euler.
Dazu forme ich meine Reihe zu [mm] \summe_{K=1}^{\infty}\bruch{3*(-1)^k-1}{k}*(x^2)^k [/mm] um.
Wie aber würde es hier mit Euler gehen? Es ist ja erlaubt, da 2k im Exponenten mir nur ungerade Zwischenterme ausspart. Da also eine 0 immer regelmäßig kommt, sollte Euler auch gehen.
Die Formel für den Konvergenzradius nach Euler ist ja [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|
[/mm]
Aber auch hier komme ich nicht aufs Ergebnis [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
Vielen Dank euch,
Ich schreibe bald Nachklausur und das wäre sehr wichtig!
Viele Grüße,
Tobi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tobi,
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> [mm]3z^{2}-\bruch{3^2}{2}*z^{4}+\bruch{3^3}{3}*z^{6}-\bruch{3^4}{4}*z^{8}+\bruch{3^5}{5}*z^{10}[/mm]
> .......
> Das erinnert ja sehr an die Reihe [mm]log(1+3x^2)= \summe_{K=1}^{\infty}\bruch{3*(-1)^k-1}{k}*(x^{2k})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das sieht mir aber ![[sehrverdaechtig]](/images/smileys/sehrverdaechtig.gif "[sehrverdaechtig]") aus
Diese Reihendarstellung stimmt doch schon für $k=1$ nicht, zumindest stellt sie nicht die Summe aus der Aufgabenstellung dar
M.E. müsste die Reihendarstellung so lauten: $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot{}\frac{3^k}{k}\cdot{}z^{2k}$
Darauf kannst du Cauchy-Hadamard loslassen, es sollte $\frac{1}{\sqrt{3}}$ rauskommen
Die Umformungen kannst du mit den Potenzgesetzen hinbekommen
($\sqrt[2k]{bla}=bla^{\frac{1}{2k}$...)
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> Jetzt die Frage. Die Lösung meiner alaten Klausur sagt mir,
> dass man mit Cauchy Hadamard auf
> [mm]\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[2k]{\bruch{2}{k}*3^{\bruch{k}{2}}}}[/mm]
> kommt.
> Wobei der limes superior gemeint ist.
> Ich bekomme die mathematische Umformung so nicht hin! Dass
> es die 2k'te wurzel aus [mm]a_{k}[/mm] sein muss ist klar, dann
> würde ich die 2.Wurzel reinziehen und hab nur noch die k'te
> wurzel dastehen. Aber ich komme so oder so nicht auf das
> Ergebnis.
>
> Die andere Möglichkeit ist ja über Euler.
> Dazu forme ich meine Reihe zu
> [mm]\summe_{K=1}^{\infty}\bruch{3*(-1)^k-1}{k}*(x^2)^k[/mm] um.
> Wie aber würde es hier mit Euler gehen? Es ist ja erlaubt,
> da 2k im Exponenten mir nur ungerade Zwischenterme
> ausspart. Da also eine 0 immer regelmäßig kommt, sollte
> Euler auch gehen.
> Die Formel für den Konvergenzradius nach Euler ist ja
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|[/mm]
> Aber auch hier komme ich nicht aufs Ergebnis
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
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> Vielen Dank euch,
> Ich schreibe bald Nachklausur und das wäre sehr wichtig!
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> Viele Grüße,
> Tobi
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:39 Sa 15.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Vielen Dank, stimmt mir ist da das -1 aus dem Exponenten gerutscht.
In deiner Reihe müsste der Exponent laut der Logarithmusreihe aber auch k-1 heißen nicht k+1.
So oder so komm ich aber nicht auf das Ergebnis.
Kannst du mir eventuell einen kleinen Anstoß geben?
Und wie würde es theoretisch mit Euler gehen wenn ich [mm] z^{2k} [/mm] dastehen habe?? Ich hab meinen Ansatz ja am Anfang schon dargelegt...wie kann man da anschließen?
Vielen Dank!!!!
Tobi
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> Vielen Dank, stimmt mir ist da das -1 aus dem Exponenten
> gerutscht.
Hallo,
unter anderem. Auch den Exponenten für die 3 hast Du unterschlagen.
> In deiner Reihe müsste der Exponent laut der
> Logarithmusreihe aber auch k-1 heißen nicht k+1.
Überleg Dir mal, daß [mm] (-1)^{n+1} [/mm] und [mm] (-1)^{n-1} [/mm] dasselbe ergibt.
> So oder so komm ich aber nicht auf das Ergebnis.
> Kannst du mir eventuell einen kleinen Anstoß geben?
Den Rest hänge ich an Deine Eingangsfrage, da muß ich dann nicht so viel selber tippen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Sa 15.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
So jetzt bin ich draufgekommen. Es handelt sich ja unter der Wurzel um den Betrag. Ich hab versucht das [mm] (-1)^{k-1} [/mm] mit mir rumzuschleppen.
Danke!
Hat jemand einen Rat was die Variante mit Euler anbelangt?
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> [mm]3z^{2}-\bruch{3^2}{2}*z^{4}+\bruch{3^3}{3}*z^{6}-\bruch{3^4}{4}*z^{8}+\bruch{3^5}{5}*z^{10}[/mm]
> .......
> Das erinnert ja sehr an die Reihe [mm]log(1+3x^2)= \summe_{K=1}^{\infty}\bruch{3*(-1)^k-1}{k}*(x^{2k})[/mm]
Hallo,
richtig wäre hier, wie schon von schachuzipus erwähnt,
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k*(-1)^k-1}{k}*(x^{2k})
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
[mm] a_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ \bruch{3^\bruch{k}{2}*(-1)^\bruch{k}{2}-1}{\bruch{k}{2}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}.
[/mm]
Nun interessiert man sich für den limes superior von
[mm] \wurzel[k]{\bruch{3^\bruch{k}{2}}{\bruch{k}{2}}} =\wurzel[k]{3^\bruch{k}{2}*\bruch{2}{k}} =\wurzel[k]{(\wurzel{3})^k*\bruch{2}{k}}=\wurzel{3}*\bruch{\wurzel[k]2}{\wurzel[k]{k}}.
[/mm]
An "Spezialkenntnissen" benötigt man nun nur noch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1, [/mm] und damit hat man's dann.
> Die andere Möglichkeit ist ja über Euler.
> Dazu forme ich meine Reihe zu
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k*(-1)^{k-1}}{k}*((x^2)^k)
[/mm]
> um.
Es ist
[mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| =\bruch{\bruch{3^k}{k}}{\bruch{3^{k+1}}{k+1}}=\bruch{1}{3}(1+\bruch{1}{k})
[/mm]
der Grenzwert also [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] dh. die Reihe konvergiert für [mm] |x^2| <\bruch{1}{3}, [/mm] und daraus folgt das bereits bekannte Ergebnis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Sa 15.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!! Jetzt wird mir auch die Lösung vieler anderer Aufgaben klar! ;)
Beste Grüße,
Tobi
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