Konvergenzradius < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:43 Do 10.05.2007 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | | Die Potenzreihe [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} a_nz^n [/mm] habe den Konvergenzradius R>1, und es gebe ein [mm] k\in \IN_o [/mm] mit [mm] |a_k|=1. [/mm] Zeige: Es existiert ein [mm] z_o \in S^1 [/mm] mit [mm] |f/z_o)|\ge1. [/mm] |
in einem satz habe ich folgendes gefunden:
[mm] a_r^k=1/2 \pi \integral_{0}^{2\pi}{f(a+re^{it})e^{-ikt}\ dt}
[/mm]
für alle K=0,1,2...Speziell für k=0 erhält man daraus wegen [mm] a_0=f(a) [/mm] die folgende 'Mittelpunktseigenschaft einer analytischen Funktion':
[mm] f(a)=1/2\pi \integral_{0}^{2\pi}{f(a+re^{it})\ dt}. [/mm] Bezeichnet man für beliebiges r mit 0<r<R das Maximum, welches die stetige Funktion |f| auf der Kreislinie |z-a|=r annimt, mit [mm] M=M_r=max{|f(z)|;|z-a|=r}, [/mm] so gelten für alle k=0,1,2...'Cauchy Abschätzungsformlen':
[mm] |a_k| \le M/r^k
[/mm]
also diesen satz kann ich doch bestimmt irgendwie anwenden, vielleicht ist es auch total offensichtlich, leider sehe ich das nicht. deswegen wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand sagen könnte wie ich das mit diesem satz angehen könnte...:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Potenzreihe [mm]f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} a_nz^n[/mm] habe den
> Konvergenzradius R>1, und es gebe ein [mm]k\in \IN_o[/mm] mit
> [mm]|a_k|=1.[/mm] Zeige: Es existiert ein [mm]z_o \in S^1[/mm] mit
> [mm]|f/z_o)|\ge1.[/mm]
>
> in einem satz habe ich folgendes gefunden:
>
> [mm]a_r^k=1/2 \pi \integral_{0}^{2\pi}{f(a+re^{it})e^{-ikt}\ dt}[/mm]
>
> für alle K=0,1,2...
du meinst [mm] $a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi i} \int_0^{2\pi} [/mm] f(a + r [mm] e^{it}) e^{-ikt} \; [/mm] dt$, oder? Das ist die Cauchysche Integralformel. Und damit kommst du auch schon recht weit:
Damit ist naemlich $1 = [mm] |a_k| [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \left| \int_0^{2\pi} f(a + r e^{it}) e^{-ikt} \; dt \right| \ge \frac{1}{2 \pi} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi \sup_{t \in [0, 2 \pi]} [/mm] |f(a + r [mm] e^{i t}) e^{-i k t}| [/mm] = [mm] \sup_{t \in [0, 2 \pi]} [/mm] |f(a + r [mm] e^{i t})|$.
[/mm]
Und jetzt bist du im Prinzip fertig...
LG Felix
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