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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Fr 17.06.2016 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}*x^{2*k+1}}{5^k*k} [/mm] |
Guten Abend,
ich möchte den konvergenzradius berechen.
Also mein [mm] a_{k}=\bruch{(-1)^{k+1}}{5^k*k}
[/mm]
und mein [mm] a_{k+1}=\bruch{(-1)^{k+2}}{5^{k+1}*(k+1)}
[/mm]
Mein Rechenweg:
[mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}*5^{k+1}*(k+1)}{5^k*k*(-1)^{k+2}}| [/mm] /kuerzen
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{-5*(k+1)}{k}|
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}|(-5)*(\bruch{k}{k}+\bruch{1}{k})|
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}|(-5)*(1+\bruch{1}{k})|
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}5*|(1+\bruch{1}{k})|
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}=5
[/mm]
laut Musterlösung mache ich was falsch. Es muss [mm] \wurzel{5} [/mm] raus kommen. Aber wie soll ich darauf kommen ?
hab das ganze auch schon mit der Formel vom Wurzelkriterium probiert. Bin da auch gescheitert. Kann mich jemand bitte bitte an die Hand nehmen ? Oder ein Tipp geben wo, was ich falsch mache ?
Ich danke schonmal im vorraus.
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}*x^{2*k+1}}{5^k*k}[/mm]
> Guten Abend,
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> ich möchte den konvergenzradius berechen.
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> Also mein [mm]a_{k}=\bruch{(-1)^{k+1}}{5^k*k}[/mm]
> und mein [mm]a_{k+1}=\bruch{(-1)^{k+2}}{5^{k+1}*(k+1)}[/mm]
>
> Mein Rechenweg:
>
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}*5^{k+1}*(k+1)}{5^k*k*(-1)^{k+2}}|[/mm]
> /kuerzen
> [mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{-5*(k+1)}{k}|[/mm]
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> [mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}|(-5)*(\bruch{k}{k}+\bruch{1}{k})|[/mm]
> [mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}|(-5)*(1+\bruch{1}{k})|[/mm]
> [mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}5*|(1+\bruch{1}{k})|[/mm]
> [mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}=5[/mm]
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> laut Musterlösung mache ich was falsch. Es muss [mm]\wurzel{5}[/mm]
> raus kommen. Aber wie soll ich darauf kommen ?
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> hab das ganze auch schon mit der Formel vom Wurzelkriterium
> probiert. Bin da auch gescheitert. Kann mich jemand bitte
> bitte an die Hand nehmen ? Oder ein Tipp geben wo, was ich
> falsch mache ?
Hallo,
für Dein Tun brauchst Du eine Potenzreihe der Gestalt [mm] \summe a_k x^k.
[/mm]
Du aber hast eine Reihe der Form [mm] \summe a_kx^{2k+1}.
[/mm]
Das ist ein Unterschied.
Schau,
zu [mm] x^1 [/mm] gehört bei Dir [mm] a_0,
[/mm]
zu [mm] x^2 [/mm] gehört der Faktor 0 (denn [mm] x^2 [/mm] kommt gar nicht vor),
zu [mm] x^3 [/mm] gehört [mm] a_1,
[/mm]
zu [mm] x^4 [/mm] die 0,
zu [mm] x^5 [/mm] der Faktor [mm] a_2
[/mm]
usw.
Aber wir können die Kurve kriegen:
[mm] \summe a_kx^{2k+1}=\summe a_k*x*x^{2k}=x*\summe a_kx^{2k} =x*\summe a_k(x^2)^k.
[/mm]
Der Faktor x ändert am Konvergenzradius nichts,
und wenn Du jetzt das [mm] x^2 [/mm] mal kurz y nennst, hast Du eine Potenzreihe, wie Du sie brauchst.
Nun kannst Du Deine Untersuchung wie oben machen.
Ergebnis: für |y|<5 konvergiert die Reihe,
d.h. sie konvergiert für [mm] |x^2|<5, [/mm] also konvergiert sie für [mm] |x|<\wurzel{5}.
[/mm]
LG Angela
>
> Ich danke schonmal im vorraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Man kann auch das Wurzelkriterium bemühen:
[mm] \wurzel[k]{| \bruch{(-1)^{k+1}\cdot{}x^{2\cdot{}k+1}}{5^k\cdot{}k}|}=\bruch{x^2}{5}* \wurzel[k]{ \bruch{|x|}{k}}\to \bruch{x^2}{5}.
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{5}<1 \gdw [/mm] |x|< [mm] \wurzel{5}.
[/mm]
FRED
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