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Hallo ihr Lieben,
Ich versuche mich gerade dabei den Konvergenzradius der Reihe [mm] \sum_{n\ge 0}{2n \choose n} [/mm] * [mm] z^{n}
[/mm]
Anscheinen beträgt der Konvergenzradius (1/4) aber ich verstehe einfach nicht wie man zu diesem Ergebniss kommt :-/
denn wenn ich es mit der Formel von Euler probiere erhalte ich:
r= lim [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] | = [mm] lim|\frac{2*(n+1)!}{n!*2}|= lim|\frac{(n+1)!}{n!}| [/mm] = lim (n+1) = [mm] \infty [/mm] Also konvergiert die Reihe auf ganz [mm] \IR [/mm]
wenn ich es mit Hilfe von Cauchy Hadamard versuche erhalte ich:
r= [mm] \frac{1}{\limsup (\wurzel[n]{|a_{n}|})} [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup (\wurzel[n]{\left|\frac{2}{n!}\right|})}=? [/mm]
auch hier komme ich nicht weiter
meine Nebenrechnung: ${2n [mm] \choose [/mm] n}= [mm] \frac{2n!}{n!*(2n-n)!}= [/mm] 2/n!$
Wo liegt der Fehler?
Danke schonmal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Do 09.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo ihr Lieben,
> Ich versuche mich gerade dabei den Konvergenzradius der
> Reihe [mm]\sum_{n\ge 0}{2n \choose n}[/mm] * [mm]z^{n}[/mm]
> Anscheinen beträgt der Konvergenzradius (1/4) aber ich
> verstehe einfach nicht wie man zu diesem Ergebniss kommt
> :-/
> denn wenn ich es mit der Formel von Euler probiere erhalte
> ich:
> r= lim [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] | =
> [mm]lim|\frac{2*(n+1)!}{n!*2}|= lim|\frac{(n+1)!}{n!}|[/mm] = lim
> (n+1) = [mm]\infty[/mm] Also konvergiert die Reihe auf ganz [mm]\IR[/mm]
>
>
> wenn ich es mit Hilfe von Cauchy Hadamard versuche erhalte
> ich:
> r= [mm]\frac{1}{\limsup (\wurzel[n]{|a_{n}|})}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\limsup (\wurzel[n]{\left|\frac{2}{n!}\right|})}=?[/mm]
> auch hier komme ich nicht weiter
>
> meine Nebenrechnung: [mm]{2n \choose n}= \frac{2n!}{n!*(2n-n)!}= 2/n![/mm]
Hier ist der Fehler!
Es gilt:
[mm] \vektor{2n \\ n}=\frac{(2n)!}{n!*(2n-n)!}
[/mm]
>
> Wo liegt der Fehler?
>
> Danke schonmal
DieAcht
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Hallo,
> Hallo ihr Lieben,
> Ich versuche mich gerade dabei den Konvergenzradius der
> Reihe [mm]\sum_{n\ge 0}{2n \choose n}[/mm] * [mm]z^{n}[/mm]
> Anscheinen beträgt der Konvergenzradius (1/4) aber ich
> verstehe einfach nicht wie man zu diesem Ergebniss kommt
> :-/
> denn wenn ich es mit der Formel von Euler probiere erhalte
> ich:
> r= lim [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] | =
> [mm]lim|\frac{2*(n+1)!}{n!*2}|= lim|\frac{(n+1)!}{n!}|[/mm] = lim
> (n+1) = [mm]\infty[/mm] Also konvergiert die Reihe auf ganz [mm]\IR[/mm]
>
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> wenn ich es mit Hilfe von Cauchy Hadamard versuche erhalte
> ich:
> r= [mm]\frac{1}{\limsup (\wurzel[n]{|a_{n}|})}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{\limsup (\wurzel[n]{\left|\frac{2}{n!}\right|})}=?[/mm]
> auch hier komme ich nicht weiter
>
> meine Nebenrechnung: [mm]{2n \choose n}= \frac{2n!}{n!*(2n-n)!}= 2/n![/mm]
>
> Wo liegt der Fehler?
Es gilt (sauber geschrieben!):
[mm] \vektor{2n\\n}=\bruch{(2n)!}{n!*(2n-n)!}=\bruch{(2n)!}{(n!)^2}
[/mm]
Und das kann man nicht weiter vereinfachen (ich gehe mal stark davon aus, dass dir die Fakultät bekannt ist?).
Ich sehe aber auch in einer Vereinfachung hier keinen wirklichen Sinn. Setze den Binomialkoeffizienten in die korrekte Formel
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
ein, und du wirst mit einer absehbaren Arbeit an Kürzen zu dem angegebenen Konvergenzadius r=1/4 kommen.
Gruß, Diophant
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okay danke
Wenn ich nun einsetze erhalte ich:
[mm] \frac{(2n)!*(n+1)!^2}{(n)^2* ((2n+1)!)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{(n+1)!}{n!}* \frac{(n+1)!}{n!} [/mm] * [mm] \frac{(2n)!}{(2(n+1))!}
[/mm]
= [mm] (n+1)^2 [/mm] * [mm] \frac{1}{2(n+1)}= [/mm] (n+1)/2
und auch hier erhalte ich für lim (n+1)/2 [mm] \not [/mm] = 1/4
Hilfe :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> okay danke
> Wenn ich nun einsetze erhalte ich:
> [mm]\frac{(2n)!*(n+1)!^2}{(n)^2* ((2n+1)!)^2}[/mm]
> =
> [mm]\frac{(n+1)!}{n!}* \frac{(n+1)!}{n!}[/mm] *
> [mm]\frac{(2n)!}{(2(n+1))!}[/mm]
> = [mm](n+1)^2[/mm] * [mm]\frac{1}{2(n+1)}=[/mm] (n+1)/2
Das stimmt nicht.
Du bekommst
[mm] (n+1)^2* \bruch{1}{(2n+1)*(2n+2)}
[/mm]
FRED
> und auch hier erhalte ich für lim (n+1)/2 [mm]\not[/mm] = 1/4
>
> Hilfe :-(
>
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stimmt du hast recht. dann erhalte ich also:
(n+1)/(4*(n+0,5)) = 0,25 * [mm] \frac{n*(1+(1/n))}{n*(1+0,5/n)} [/mm] für lim [mm] n->\infty [/mm] ist das gleich 1/4 richtig?
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Hallo,
> stimmt du hast recht. dann erhalte ich also:
> (n+1)/(4*(n+0,5)) = 0,25 * [mm]\frac{n*(1+(1/n))}{n*(1+0,5/n)}[/mm]
> für lim [mm]n->\infty[/mm] ist das gleich 1/4 richtig?
So ist es!
Gruß
schachuzipus
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