Konvergenzradiu-breich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Ich soll den Konvergenzradius -und bereich folgender Reihe bestimmen. Leider kann ich die Formel r= an/an+1 nicht auf die mir gegeben Reihe übertragen. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} [/mm] n! [mm] x^{n}
[/mm]
Limerick
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Rico,
es gibt ja zwei Formel zur Bestimmung des Konvergenzradiuses einer Potenzreihe.
$R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ oder $R=\frac{1}{\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}$, wobei man $\frac{1}{0}=\infty$ und $\frac{1}{\infty}=0$ setzt.
Damirt erhalte ich, dass $R=0$ gilt, die Reihe also nur für $x=0$ konvergiert und ansonsten divergent ist.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Danke erst mal für die schnelle Antwort.
Nur jetzt hab ich drei Formeln die mir nix sagen.
ich nehme an die richtige wäre
r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] a_{n} [/mm] / [mm] a_{n+1} [/mm] |
Mein Problem ist, was ist den an im meiner Reihe und wie benutze ich diese Formel. Ich hab den Papula aber der hilft mir da net viel weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Nam |
Deine Folge [mm](a_n)[/mm] ist [mm]n![/mm].
Also: [mm]R = \frac{1}{\limes_{n \to \infty}{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}} = \frac{1}{\limes_{n \to \infty}{|\frac{(n+1)!}{n!}|}} = \cdots[/mm]
Kommst du damit weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Limerick |
ja soweit hab ich es mit dem Papula auch gelöst nur was ich da raus hab sagt mir nix..wie komme ich von da zum Radius?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Rico,
was hast du denn für den Grenzwert [mm] $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] heraus bekommen?
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Grenzwert?? ich bin nun soweit das ich alles nach Betrag x aufgelöst habe und dafür
1 / [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (n+1)!/n!
was mach ich jetzt damit oder was sagt mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Limerick!
> [mm] $\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!}{n!}}$
[/mm]
>
> was mach ich jetzt damit oder was sagt mir das?
Diesen Ausdruck mußt Du zunächst noch weiter zusammenfassen, so daß Du den Grenzwert dieses Ausdruckes bestimmen kannst.
Tipp:
$(n+1)! \ = \ 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n * (n+1)$
$n! \ = \ 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n$
Hier kann man in dem Doppelbruch noch etwas kürzen.
Anschließend Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$.
[/mm]
Dieser Wert, der da entsteht ist dann der Konvergenzradius $R$ ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Also ich hab das jetzt so gekürzt und umgeformt das dasteht
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/(n+1)
Der Grenwert davon ist 0 . Ist das der Radius??? Wenn ja hab ich das Ergebnis aber keinen Schimmer was es bedeutet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Nam |
Der Konvergenzradius R ist also 0. R=0.
Das heisst, die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n! x^k[/mm] konvergiert, wenn [mm]|x| \leq 0 = R[/mm] ist. Dies ist allerdings nur für [mm]x=0[/mm] der Fall. Ist ja auch logisch. n! wächst unheimlich schnell, schneller als [mm]x^k[/mm] für ein [mm]0 < x < 1[/mm] "schrumpfen" würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 So 24.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Danke an alles die mir geholfen haben.
Eina Frage hätte ich jetzt noch. Was ist dan der Unterschied zwischen Konvergenzradius -und bereich?? Ach und wie komm ich dann auf den Bereich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 So 24.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Rico,
ich vermutemal, dass manche von Konvergenzbereich sprechen, wenn sie die Potenzreihe nicht über [mm] $\IC$ [/mm] sondern [mm] $\IR$ [/mm] bestimmen. Dann handelt es sich um das Intervall von $[-R; R]$.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 So 24.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Guten Morgen erst mal
Heisst das jetzt, dass die Reihe keinen K.Bereich hat weil der K.Radius gleich 0 ist?
Rico
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 So 24.04.2005 | | Autor: | Max |
Ja, weil $R=0$ konvergiert die Reihe nur genau im Punkt $0$. (Das tun aber alle Potenzreihen.)
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 So 24.04.2005 | | Autor: | Limerick |
Danke Danke Danke.......
Meine letzte Frage wäre dann noch. Wozu in Gottes Namen braucht man das??? Wenigstens ein Beispiel für eine sinnvole Anwendung bitte!!!!
Wenn nicht schon unser Prof. kann dann vielleich hier jemand!
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