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Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Di 08.06.2010
Autor: melisa1

Aufgabe
Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

[mm] (i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{3n}}{5+(-1)^n)^{2n}} [/mm]

(ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm]

Untersuchen Sie bei (i) auch das Konvergenzverhalten auf dem Rand.

Hallo,

ich habe die Aufgaben gelöst und wollte fragen, ob jemand drüber schauen kann.

zu (i)

Mit dem Wurzelkriterium habe ich:

[mm] |\bruch{x^3}{25+10(-1)^n+1}| [/mm]

Fall 1 n gerade


[mm] |\bruch{x^3}{25+10(-1)^{2n}+1}|=\bruch{x^3}{25+10+1}=\bruch{x^3}{36}<1 [/mm]

[mm] x^3<36 [/mm]

[mm] x^3<\wurzel[3]{36} [/mm] dann konv. die Reihe absolut

für > div.

2 Fall n ungerade:


[mm] \bruch{|x^3|}{16}<1 [/mm]

[mm] x^3<\wurzel[3]{16} [/mm] dann konv. die Reihe absolut

für > div.


dass Verhalten am Rand habe ich noch nicht gemacht (muss noch etwas nachlesen, weil ich nicht weiß wie das FUnktioniert.

bei der (ii) habe ich

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{n!(2n!-n!)}=\bruch{2n!}{(n!)^2} [/mm]

[mm] |\bruch{2n!(2n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*2n!}*x| [/mm]

[mm] =\bruch{2n+1}{n^2+2n+1}x [/mm]

klammern wir [mm] n^2 [/mm] aus strebt das ganze gegen 0 für n-> [mm] \infty [/mm]

die Reihe konvergiert somit für jedes [mm] x\in \IR [/mm] absolut und der Konvergenzradius ist unendlich.


ich bedanke mich im voraus

Lg Melisa



        
Bezug
Konvergenzradien: zu Aufgabe (ii)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 08.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


Du musst mehr aufpassen mit Klammern setzen.

Es gilt:
[mm] $$\vektor{2n\\n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!}{n!*(2n-n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!}{(n!)^2}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 08.06.2010
Autor: melisa1

Hallo,

der Rest stimmt aber oder?


Lg Melisa

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradien: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Di 08.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


Nein, der Rest stimmt natürlich nicht, da Du ja mit einem falschen Term gerechnet hast.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Di 08.06.2010
Autor: melisa1

Hallo,

bevor ich wieder irgend etwas falsch mache, frage ich lieber am anfang.

Ist das jetzt so richtig aufgeschrieben:

[mm] \bruch{(2(n+1))!*(n!)^2}{((n+1)!)^2*(2n)!}=\bruch{2*(n!)^2}{(n+1)!*(2n)!} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradien: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Di 08.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


> Ist das jetzt so richtig aufgeschrieben:
>  
> [mm]\bruch{(2(n+1))!*(n!)^2}{((n+1)!)^2*(2n)!}=\bruch{2*(n!)^2}{(n+1)!*(2n)!}[/mm]

Links vom Gleichheitszeichen ist alles okay. Aber dahinter stimmt es nicht mehr.

[mm] $$\bruch{[2*(n+1)]!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n+2)!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}{[n!*(n+1)]^2*(2n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!*(2n+1)*2*(n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*(2n)!} [/mm] \ = \  ...$$
Nun kürzen und zusammenfassen ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Di 08.06.2010
Autor: melisa1

Hallo,

>  
> [mm]\bruch{[2*(n+1)]!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n+2)!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}{[n!*(n+1)]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*2*(n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*(2n)!} \ = \ ...[/mm]
>  
> Nun kürzen und zusammenfassen ...
>  

[mm] \bruch{4n+2}{(n+1)}???? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  
> >  

> > [mm]\bruch{[2*(n+1)]!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n+2)!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}{[n!*(n+1)]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*2*(n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*(2n)!} \ = \ ...[/mm]
>  
> >  

> > Nun kürzen und zusammenfassen ...
>  >  
>
> [mm]\bruch{4n+2}{(n+1)}????[/mm]  [ok]

Und was treibt das für [mm] $n\to\infty$ [/mm]


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Di 08.06.2010
Autor: melisa1


>  >  >  
> >
> > [mm]\bruch{4n+2}{(n+1)}????[/mm]  [ok]
>  
> Und was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm]
>  

sie strebt gegen 4 also ist der radius 1/4???

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenzradien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mi 09.06.2010
Autor: fred97


>
> >  >  >  

> > >
> > > [mm]\bruch{4n+2}{(n+1)}????[/mm]  [ok]
>  >  
> > Und was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm]
>  >  
>
> sie strebt gegen 4 also ist der radius 1/4???

Ja

FRED

Bezug
        
Bezug
Konvergenzradien: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Melisa,

> Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:
>  
> [mm](i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{3n}}{5+(-1)^n)^{2n}}[/mm]
>  
> (ii) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n[/mm]
>  
> Untersuchen Sie bei (i) auch das Konvergenzverhalten auf
> dem Rand.
>  Hallo,
>  
> ich habe die Aufgaben gelöst und wollte fragen, ob jemand
> drüber schauen kann.
>  
> zu (i)
>  
> Mit dem Wurzelkriterium habe ich:
>  
> [mm]|\bruch{x^3}{25+10(-1)^n+1}|[/mm]
>  
> Fall 1 n gerade
>  
>
> [mm]|\bruch{x^3}{25+10(-1)^{2n}+1}|=\bruch{x^3}{25+10+1}=\bruch{x^3}{36}<1[/mm]
>  
> [mm]x^3<36[/mm]
>  
> [mm]x^3<\wurzel[3]{36}[/mm] dann konv. die Reihe absolut
>  
> für > div.
>  
> 2 Fall n ungerade:
>
>
> [mm]\bruch{|x^3|}{16}<1[/mm]
>  
> [mm]x^3<\wurzel[3]{16}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

dann konv. die Reihe absolut

>  
> für > div.
>  
>
> dass Verhalten am Rand habe ich noch nicht gemacht (muss
> noch etwas nachlesen, weil ich nicht weiß wie das
> FUnktioniert.
>  


Hmm, schaue dir mal das Kriterium von Cauchy-Hadamard an.

Du musst doch (auch mit dem WK) den $\lim\red{sup}$ bestimmen!

Also nach WK: $\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{x^{3n}}{\left(5+(-1)^n\right)^{2n}}\right|}$

$=\left|x^3\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\left(5+(-1)^n\right)^2}$

Und das ist $=\ldots$

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 08.06.2010
Autor: melisa1


>  
> Also nach WK:
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{x^{3n}}{\left(5+(-1)^n\right)^{2n}}\right|}[/mm]
>  
> [mm]=\left|x^3\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\left(5+(-1)^n\right)^2}[/mm]
>  
> Und das ist [mm]=\ldots[/mm]
>  


lim sup [mm] \bruch{1}{16} [/mm]


????

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> >  

> > Also nach WK:
> >
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{x^{3n}}{\left(5+(-1)^n\right)^{2n}}\right|}[/mm]
>  >  
> >
> [mm]=\left|x^3\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\left(5+(-1)^n\right)^2}[/mm]
>  >  
> > Und das ist [mm]=\ldots[/mm]
>  >  
>
>
> lim sup [mm]\bruch{1}{16}[/mm] [ok]

Und daher nach WK absolute Konvergenz für [mm] $|x|^3\cdot{}\frac{1}{16}<1$, [/mm] also ...

Und Divergenz für [mm] $|x|^3>16$ [/mm]

Für die Untersuchung der Randpunkte setze dann selbige in die Reihe ein und untersuche mit den stadtbekannten Kriterien für "normale" Reihen

Gruß

schachuzipus

>  
>
> ????


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Di 08.06.2010
Autor: melisa1


>  
> Und daher nach WK absolute Konvergenz für
> [mm]|x|^3\cdot{}\frac{1}{16}<1[/mm], also ...
>  


x< [mm] \wurzel[3]{16} [/mm]
oder?

>  
> Für die Untersuchung der Randpunkte setze dann selbige in
> die Reihe ein und untersuche mit den stadtbekannten
> Kriterien für "normale" Reihen


muss ich jetzt dritte wurzel aus 16 für x einsetzen?

Und war das mit der Fallunterscheidung falsch? Also muss ich nur das mit 1/16 betrachten?

sry für die banalen Fragen, aber ich habe es in der Vorlesung überhaupt nicht verstanden.

Lg Melisa

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> >  

> > Und daher nach WK absolute Konvergenz für
> > [mm]|x|^3\cdot{}\frac{1}{16}<1[/mm], also ...
>  >  
>
>
> x< [mm]\wurzel[3]{16}[/mm]

Besser: absolute Konvergenz für [mm] $\red{|}x\red{|}<\sqrt[3]{16}$ [/mm]

>   oder?
>  
> >  

> > Für die Untersuchung der Randpunkte setze dann selbige in
> > die Reihe ein und untersuche mit den stadtbekannten
> > Kriterien für "normale" Reihen
>  
>
> muss ich jetzt dritte wurzel aus 16 für x einsetzen?

Ja, und auch den anderen Randpunkt [mm] $x=-\sqrt[3]{16}$ [/mm]

>  
> Und war das mit der Fallunterscheidung falsch?

Die Fallunterscheidung ist doch sehr hilfreich, es gibt ja nur 2 Häufungswerte, du musst den größten [mm] (\limsup) [/mm] rauspicken ...

> Also muss ich nur das mit 1/16 betrachten?


Ja, das ist der größere (größte) der beiden Häufungswerte ...
  

> sry für die banalen Fragen, aber ich habe es in der
> Vorlesung überhaupt nicht verstanden.
>  
> Lg Melisa


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Di 08.06.2010
Autor: melisa1

Hallo,

ich habe jetzt für das Randverhalten:

[mm] \bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}} [/mm] mit dem WK [mm] =\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1 [/mm]

für [mm] -\wurzel[3]{16} [/mm] bekommen wir analog -1 raus


Lg Melisa

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  
> ich habe jetzt für das Randverhalten:
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}}[/mm]
> mit dem WK [mm]=\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1[/mm]

Das ist doof, denn in diesem Falle liefert das WK keine Aussage bgl Konvergenz oder Divergenz.

Da musst du also anders anpacken ...

Wie sieht es mit dem Tricialkriterium aus?

Ich habe es nicht gerechnet, aber auf einen schnellen Blick scheint es verletzt zu sein ...

>  
> für [mm]-\wurzel[3]{16}[/mm] bekommen wir analog -1 raus


Ach, das kann doch gar nicht sein, du musst doch die n-te Wurzel des Betrages untersuchen ...


>  
>
> Lg Melisa

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:26 Di 08.06.2010
Autor: melisa1

Hallo,

das TK sagt doch aus, dass wenn due Sznnabdeb der Reihe nicht gegen null konv. kann die reihe selbst nicht konv.

für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt (da  die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv. sein kann.

für - dritte wurzel aus 16 komme ich nicht weiter. Ich muss ja die n-te wurzel ziehen und bei negativen Zahlen geht das nicht.

Lg

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenzradien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  
> das TK sagt doch aus, dass wenn due Sznnabdeb der Reihe
> nicht gegen null konv. kann die reihe selbst nicht konv.

Aha, das ist mir neu, die Definition einer Sznnabdeb einer Reihe kenne ich nicht ...

Was an meiner mangelnden Bildung liegen mag ...

>
> für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt
> (da  die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv.
> sein kann.

Tut sie das?

Beweis?


>
> für - dritte wurzel aus 16 komme ich nicht weiter. Ich
> muss ja die n-te wurzel ziehen und bei negativen Zahlen
> geht das nicht.


Ich hatte doch schon gesagt, dass man beim WK die Beträge untersucht, das liefert also auch 1 als GW (wenn 1 bei [mm] $x=+\sqrt[3]{16}$ [/mm] denn der richtige DW war)


> Lg

Zeige mal etwas Rechnung her, an der man was sehen und korrigieren kann, nicht bloß Prosa ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenzradien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Di 08.06.2010
Autor: melisa1


> Aha, das ist mir neu, die Definition einer Sznnabdeb einer
> Reihe kenne ich nicht ...
>  
> Was an meiner mangelnden Bildung liegen mag ...

hahaha sry ich meinte "natürlich" Summanden :D  

> >
> > für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt
> > (da  die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv.
> > sein kann.
>
> Tut sie das?
>  
> Beweis?

[mm] \bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}} =\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1 [/mm]

oder nicht ???


Lg


Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenzradien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mi 09.06.2010
Autor: fred97


> > Aha, das ist mir neu, die Definition einer Sznnabdeb einer
> > Reihe kenne ich nicht ...
>  >  
> > Was an meiner mangelnden Bildung liegen mag ...
>  
> hahaha sry ich meinte "natürlich" Summanden :D  
> > >
> > > für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt
> > > (da  die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv.
> > > sein kann.
> >
> > Tut sie das?
>  >  
> > Beweis?
>  
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}} =\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1[/mm]


Was ist denn das ??  Alle (!) Gleichheitszeichen sind falsch ! Nach dem 1. "=" wird aus 16 plötzlich [mm] 16^n [/mm]  ???

Nach dem 2. "=" fehlt in Zähler und Nenner der Exponent n.  ???

Für gerades n ist [mm] 6=5+(-1)^n \ne [/mm] 4    !!!

FRED

>
> oder nicht ???
>  
>
> Lg
>  


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