Konvergenzr. v. Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen jeweils angegeben und das Ergebnis bewiesen werden:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}$ [/mm] und [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n}$ [/mm] |
Hallo,
ich bitte um Korrektur und bei der zweiten Reihe um einen Tipp, wie man da weitermachen könnte.
Es ist [mm] $a_{n}=3^{n}.$ [/mm] Dann [mm] $\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{3^{n}}=(\wurzel[n]{3})^{n}=3 \xrightarrow[n \to \infty]{}3$
[/mm]
Also: [mm] $r=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|})}=\bruch{1}{3}$
[/mm]
Es ist [mm] $a_{n}=\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}.$ [/mm] Dann [mm] $\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}}=\left( \wurzel[n]{\sin\bruch{n \pi}{2}} \right)^{n}=\sin \bruch{n \pi}{2}$
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Es soll der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen
> jeweils angegeben und das Ergebnis bewiesen werden:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bitte um Korrektur und bei der zweiten Reihe um einen
> Tipp, wie man da weitermachen könnte.
>
> Es ist [mm]a_{n}=3^{n}.[/mm] Dann [mm]\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{3^{n}}=(\wurzel[n]{3})^{n}=3 \xrightarrow[n \to \infty]{}3[/mm]
>
> Also:
> [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|})}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Es ist [mm]a_{n}=\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}.[/mm] Dann
> [mm]\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}}=\left( \wurzel[n]{\sin\bruch{n \pi}{2}} \right)^{n}=\sin \bruch{n \pi}{2}[/mm]
>
Schreibe zunächst die Reihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n}[/mm]
um, in dem Du [mm]\sin\left(\bruch{n \pi}{2}\right)[/mm] durch deren Zahlenwert ersetzt.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Es soll der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen jeweils angegeben und das Ergebnis bewiesen werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n} [/mm] $ |
Hallo MathePower,
danke für Deine Antwort.
> > Es ist [mm]a_{n}=\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}.[/mm] Dann
> > [mm]\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}}=\left( \wurzel[n]{\sin\bruch{n \pi}{2}} \right)^{n}=\sin \bruch{n \pi}{2}[/mm]
>
>
> Schreibe zunächst die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n}[/mm]
>
> um, in dem Du [mm]\sin\left(\bruch{n \pi}{2}\right)[/mm] durch deren
> Zahlenwert ersetzt.
Ist mein bisheriger Stand oben der falsche Weg?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Deinen Tipp richtig gedeutet habe.
[mm] $\sin\left(\bruch{0 \pi}{2}\right)=\sin [/mm] 0=0$
> Gruss
> MathePower
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
> Ist mein bisheriger Stand oben der falsche Weg?
Du wirst keinen entsprechenden Grenzwert finden.
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich Deinen Tipp richtig
> gedeutet habe.
>
> [mm]\sin\left(\bruch{0 \pi}{2}\right)=\sin 0=0[/mm]
Setze noch mehr Werte für $n_$ ein ein, um eine Regelmäßigkeit zu erkennen.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Es soll der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen jeweils angegeben und das Ergebnis bewiesen werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n} [/mm] $ |
Hallo Loddar (bzw. jeder andere Interessierte),
> > [mm]\sin\left(\bruch{0 \pi}{2}\right)=\sin 0=0[/mm]
>
> Setze noch mehr Werte für [mm]n_[/mm] ein ein, um eine
> Regelmäßigkeit zu erkennen.
Ich hatte:
Es ist $ [mm] a_{n}=\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}. [/mm] $ Dann $ [mm] \wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}}=\left( \wurzel[n]{\sin\bruch{n \pi}{2}} \right)^{n}=\sin \bruch{n \pi}{2}$
[/mm]
Jetzt:
[mm] $\left( \sin\bruch{0 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{1 \pi}{2} \right)=0.0274...$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{2 \pi}{2} \right)=0.0548...$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{3 \pi}{2} \right)=0.0821...$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{4 \pi}{2} \right)=0.1094...$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{5 \pi}{2} \right)=0.1366...$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{6 \pi}{2} \right)=0.1637...$
[/mm]
[mm] $\left( \sin\bruch{7 \pi}{2} \right)=0.1907...$
[/mm]
...
[mm] $\left( \sin\bruch{100 \pi}{2} \right)=0.3894...$
[/mm]
...
[mm] $\left( \sin\bruch{1000 \pi}{2} \right)=0.7570...$
[/mm]
...
[mm] $\left( \sin\bruch{100000 \pi}{2} \right)=0.8692...$
[/mm]
...
[mm] $\left( \sin\bruch{10000000 \pi}{2} \right)=0.99...$
[/mm]
Ausgehend von dem was ich oben bisher hatte:
[mm] $\sin \bruch{n \pi}{2}\xrightarrow[n \to \infty]{}1$
[/mm]
Also: $ [mm] r=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|})}=\bruch{1}{1}=1$
[/mm]
Stimmt das so?
Falls ja, hätte ich nicht einfach sagen können, der Sinus ist durch 1 beschränkt?
> Gruß
> Loddar
Danke & Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Es soll der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen
> jeweils angegeben und das Ergebnis bewiesen werden:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n}[/mm]
>
> Hallo Loddar (bzw. jeder andere Interessierte),
>
> > > [mm]\sin\left(\bruch{0 \pi}{2}\right)=\sin 0=0[/mm]
> >
> > Setze noch mehr Werte für [mm]n_[/mm] ein ein, um eine
> > Regelmäßigkeit zu erkennen.
>
> Ich hatte:
> Es ist [mm]a_{n}=\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}.[/mm] Dann
> [mm]\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|}=\wurzel[n]{\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}}=\left( \wurzel[n]{\sin\bruch{n \pi}{2}} \right)^{n}=\sin \bruch{n \pi}{2}[/mm]
>
> Jetzt:
>
> [mm]\left( \sin\bruch{0 \pi}{2} \right)=0[/mm]
> [mm]\left( \sin\bruch{1 \pi}{2} \right)=0.0274...[/mm]
>
> [mm]\left( \sin\bruch{2 \pi}{2} \right)=0.0548...[/mm]
> [mm]\left( \sin\bruch{3 \pi}{2} \right)=0.0821...[/mm]
>
> [mm]\left( \sin\bruch{4 \pi}{2} \right)=0.1094...[/mm]
> [mm]\left( \sin\bruch{5 \pi}{2} \right)=0.1366...[/mm]
>
> [mm]\left( \sin\bruch{6 \pi}{2} \right)=0.1637...[/mm]
> [mm]\left( \sin\bruch{7 \pi}{2} \right)=0.1907...[/mm]
>
> ...
> [mm]\left( \sin\bruch{100 \pi}{2} \right)=0.3894...[/mm]
> ...
> [mm]\left( \sin\bruch{1000 \pi}{2} \right)=0.7570...[/mm]
> ...
> [mm]\left( \sin\bruch{100000 \pi}{2} \right)=0.8692...[/mm]
> ...
> [mm]\left( \sin\bruch{10000000 \pi}{2} \right)=0.99...[/mm]
>
Vielleicht hast Du Deinen TR nicht auf das Bogenmaß
umgestellt, dann würdest Du nämlich sehen, daß [mm]\sin\left(\bruch{n \pi}{2} \right)[/mm]
nur ganzzahlige Werte annehmen kann.
Die Werte sollte man auch ohne Zuhilfenahme des TRs kennen.
>
> Ausgehend von dem was ich oben bisher hatte:
>
> [mm]\sin \bruch{n \pi}{2}\xrightarrow[n \to \infty]{}1[/mm]
>
> Also:
> [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|})}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Falls ja, hätte ich nicht einfach sagen können, der
> Sinus ist durch 1 beschränkt?
>
> > Gruß
> > Loddar
>
> Danke & Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Es soll der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen jeweils angegeben und das Ergebnis bewiesen werden:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n} [/mm] $ |
Hallo MathePower,
> Vielleicht hast Du Deinen TR nicht auf das Bogenmaß
> umgestellt, dann würdest Du nämlich sehen, daß
> [mm]\sin\left(\bruch{n \pi}{2} \right)[/mm]
> nur ganzzahlige Werte
> annehmen kann.
>
> Die Werte sollte man auch ohne Zuhilfenahme des TRs
> kennen.
ich hatte den ETR nicht auf RAD gestellt. Jetzt aber:
> $ [mm] \left( \sin\bruch{0 \pi}{2} \right)=0 [/mm] $
> $ [mm] \left( \sin\bruch{1 \pi}{2} \right)=1$
[/mm]
>
> $ [mm] \left( \sin\bruch{2 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
> $ [mm] \left( \sin\bruch{3 \pi}{2} \right)=-1$
[/mm]
>
> $ [mm] \left( \sin\bruch{4 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
> $ [mm] \left( \sin\bruch{5 \pi}{2} \right)=1$
[/mm]
>
> $ [mm] \left( \sin\bruch{6 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
> $ [mm] \left( \sin\bruch{7 \pi}{2} \right)=-1$
[/mm]
>
> ...
> $ [mm] \left( \sin\bruch{100 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
> ...
> $ [mm] \left( \sin\bruch{1000 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
> ...
> $ [mm] \left( \sin\bruch{100000 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
> ...
> $ [mm] \left( \sin\bruch{10000000 \pi}{2} \right)=0$
[/mm]
Also mit RAD $ [mm] \sin \bruch{n \pi}{2}\xrightarrow[n \to \infty]{}0 [/mm] $
[mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|})}=\bruch{1}{0}=\infty[/mm]
Mit der Einstellung DEG:
> > [mm]\sin \bruch{n \pi}{2}\xrightarrow[n \to \infty]{}1[/mm]
> >
> > Also:
> > [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{\left| a_{n} \right|})}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
Welche Variante ist jetzt richtig bzw. soll ich hinschreiben?
Sorry für meine Verwirrung, aber irgendwie ist das für mich nicht trivial.
> Gruss
> MathePower
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Grieche,
Du hast doch gesehen, dass
[mm] (|\sin\left(\bruch{n \pi}{2} \right)|) [/mm]
gerade Die Folge (0,1,0,1,0,1, ....) ist
Welchen Lim sup hat diese Folge ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 30.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
vielen Dank, jetzt ist es mir natürlich klar.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
In Bezug auf
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left( \sin\bruch{n \pi}{2} \right)^{n}x^{n} [/mm] $
gilt folgendes:
Ist [mm] (a_n) [/mm] beschränkt, aber keine Nullfolge, so hat [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] den Konvergenzradius 1.
Beweis: es gibt ein c>0 [mm] mit:|a_n| \le [/mm] c für jedes n. Dann ist [mm] \wurzel[n]{|a_n|} \le \wurzel[n]{c} [/mm] für jedes n. Also
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|} \le [/mm] 1.
Damit ist der Konvergenzradius [mm] \ge [/mm] 1. Wäre er > 1, so würde [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergieren, damit wäre [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge, Wid.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 30.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Besten Dank für die Mitteilung, Fred!
Gruß
el_grecco
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