Konvergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Mo 01.12.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Es sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $a_n>$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=:b<1$
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0$
[/mm]
(Hinweis: Es sei $c [mm] \in \IR$ [/mm] mit $b<c<1$. Zeigen Sie zunächst, dass ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] existiert mit der Eigenschaft [mm] $0 |
hallo!
Den Hinweis habe ich schon bewiesen. Es gilt ja:
$b<c<1$ mit $c [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $\gdw \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
Wenn das für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt, muss es also ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] für das diese Ungleichung gilt. Also
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}
[mm] \gdw $a_{n+1}
Jetzt muss man doch wahrscheinlich das [mm] \varepsilon [/mm] - Kriterium nehmen um zz., dass [mm] a_n [/mm] gegen Null geht oder? Aber wie mach ich das? Ich nehme mal an, dass irgendwie dieses c benutzt werden muss.
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja ich.
Zeige induktiv: 0 < [mm] a_{N+k} [/mm] < [mm] c^k a_N [/mm] für jedes k [mm] \in \IN.
[/mm]
Da 0<c<1, fogt dann, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
FRED
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