Konvergenzkriterien von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe keine besondere Aufgabe aber ein Riesenproblem...ich verstehe die Konvergenzkriterien für Reihen einfach nich....habe schon in Büchern, scripten und Foren nachgesehen aber ich kapiers einfach nicht:-/ kann mir wer von euch vieleicht an dieser reihe:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left( \bruch{\wurzel{k}}{k^2 + 1}\right)[/mm]
die Konvergenzkriterien erklären? Also das Vergleichskriterium, Quotienten- und Wurzelkriterium. Die einfach Beispiele in den Büchern verstehe ich so halbwegs, aber ich habe keine Ahnung wie ich das hier anwenden soll:-( ich hoffe es kann mir einer weiterhelfen.
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg
der mal wieder "nixBlicker"
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Leider kann man sich nicht irgend eines der Kriterien heraussuchen und dann einfach sagen: Damit muss es nun klappen!
Wenn du auf
[mm]\sum_{k=1}^{\infty}\left( \bruch{\wurzel{k}}{k^2 + 1}\right)[/mm]
das Quotientenkriterium anwendest, stellst du fest, dass der Quotient immer mehr auf 1 zu läuft und beliebig nah an 1 herankommt. Also ist dieses Kriterium nicht zu verwenden (deshalb rechne ich es dir auch hier nicht vor).
Auch das Wurzelkriterium ist so unhandlich, dass man nicht viel erkennen kann.
Bleibt das Majorantenkriterium. Das bietet sich schon deshalb gut an, weil man sieht, dass der Nenner stark zunimmt, der Zähler viel schwächer und dass es deshalb wohl nicht schwierig wird, eine Reihe zu finden, die größere Summanden hat und trotzdem konvergiert.
[mm] \bruch{\wurzel{k}}{k^2 + 1} [/mm] Was ärgert? Die Wurzel, und dass man nichts kürzen kann. Deshalb mit [mm] \wurzel{k} [/mm] erweitern:
[mm] \bruch{\wurzel{k}}{k^2 + 1}=\bruch{k}{\wurzel{k}(k^2 + 1)}
[/mm]
[mm] <\bruch{k}{\wurzel{k}(k^2)}=\bruch{1}{k\wurzel{k}}
[/mm]
Auch bei dieser Majorante kommt man zunächst mit Wurzel- oder Quotientenkriterium nicht weiter, kann sich aber folgendes überlegen:
Betrachte den Graphen von [mm] f(x)=\bruch{1}{x\wurzel{x}}. [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zeichne bei x=1,2,3,4... von der x-Achse aus senkrechte Linien bis zum Graphen. Diese haben die Höhe [mm] f(k)=\bruch{1}{k\wurzel{k}}.Zeichnet [/mm] man nun nach links vom jeweiligen Punkt auf dem Graphen eine waagerechte Linie der Breite 1, so gilt: Jeder der entstehenden Balken hat den Flächeninhalt [mm] 1*f(k)=\bruch{1}{k\wurzel{k}}. [/mm] Die Summe aller Balkenflächen ergibt dann
[mm]\sum_{k=1}^{\infty}\left( \bruch{1}{k \wurzel{k}}\right)[/mm] und ist damit größer als die gesuchte Summe (Majorante).
Wie man aber sieht, ist diese Flächensumme kleiner als [mm] \bruch{1}{1 \wurzel{1}}+\integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}=1+(-2x^{-1/2}) [/mm] in den Grenzen von 1 bis [mm] \infty
[/mm]
=1+0-(-2)=3
Somit ist auch die gesuchte Summe <3.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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