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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass diefolgenden Grenzwerte existieren und bestimmen sie ihren wert
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\\pi/2} [/mm] ( [mm] x-\pi/2)tan(x)
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\\pi/2} [/mm] (tan(x) + [mm] \bruch{1}{x-\pi/2} [/mm] |
So jetzt muss ich ja ein KOnvergenzkriterium benutzen, um zu gucken, ob ein Grenzwert existiert.
Wie kann ich sehen, welches Kriterium ich am besten nehme???
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Hallo Sissenge,
beim ersten Forme so um, dass du die Regel von L'Hospital nutzen kannst, beim zweiten bringe auf den Hauptnenner und nutze a)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Aber damit habe ich noch nicht bewiesen, dass ein Grenzwert existiert ich habe ihn doch nur ausgerechnet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Also beim ersten habe ich dann zunächst ausmultipliziert
xtan(x) - [mm] \pi/2 [/mm] tan(x)
jetzt muss ich L'Hospital anwenden
tan(x) + x [mm] 1/cos^2 [/mm] (x) - [mm] \pi/2 1/cos^2(x)
[/mm]
muss ich dannnochmal l'hospital anwenden???
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Hallo,
> Also beim ersten habe ich dann zunächst ausmultipliziert
>
> xtan(x) - [mm]\pi/2[/mm] tan(x)
>
> jetzt muss ich L'Hospital anwenden
Wie denn?
Du brauchst einen Quotienten [mm]f(x)/g(x)[/mm], der für [mm]x\to x_0[/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm]\frac{0}{0}[/mm] oder [mm]\pm\frac{\infty}{\infty}[/mm] strebt.
Nicht von ungefähr kam der Tipp, den Ausgangsterm in "passende" Form zu bringen.
Schaue dir besagte Regel von M. de l'Hôpital nochmal genau an!
> tan(x) + x [mm]1/cos^2[/mm] (x) - [mm]\pi/2 1/cos^2(x)[/mm]
>
> muss ich dannnochmal l'hospital anwenden???
Wenn du es richtig machst, reicht 1 Anwendung ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo sissenge,
> Aber damit habe ich noch nicht bewiesen, dass ein Grenzwert
> existiert ich habe ihn doch nur ausgerechnet
Nein die Regel von de l'Hôpital liefert auch den gesuchten GW.
Was hast du denn errechnet nach dem Tipp von Gonozal?
Vllt. noch als Zusatz:
[mm](x-\pi/2)\tan(x)=\frac{x-\pi/2}{1/\tan(x)}=\frac{x-\pi/2}{\cot(x)}[/mm]
Nun zeig' mal, was du rechnest oder gerechnet hast ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
also lim [mm] \bruch{x-\pi/2}{cot(x)} [/mm]
dann l'H
lim [mm] \bruch{1}{-1-cot^2 (x)} [/mm] = lim [mm] -sin^2 [/mm] x = 1
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Hallo nochmal,
> also lim [mm]\bruch{x-\pi/2}{cot(x)}[/mm]
>
> dann l'H
> lim [mm]\bruch{1}{-1-cot^2 (x)}[/mm] = lim [mm]-sin^2[/mm] x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") = 1
Eher [mm]\red{-}1[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ahhh ja steht ja ein Minus davor..
aber jetzt nochmal meine Frage in der Aufgabe steht ja, ich soll beweisen, dass ein Grenzwert existiert und ihn dann ausrechnen. Muss ich dann nciht ein Konvergenzkriterium benutzen und dann erst den Wert ausrechnen???
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Hallo sissenge,
wenn die Regel von l'Hospital anwendbar ist und dir nach endlich vielen Schritten ein endliches Ergebnis liefert, so ist damit zugleich die Konvergenz des ursprünglichen Ausdrucks nachgewiesen, so wie hier.
Die anderen Konvergenzkriterien dürften hier auch alle schwierig anzuwenden sein, falls Du nicht eine gute Idee für eine konvergente Majorante hast. Ich wüsste gerade keine, um ehrlich zu sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ahh ok.. die Definition für die KOnvergenz kannte ich nicht... danke!!!
wenn ich mir jetzt den 2. Term anschaue, bringe ich alles auf einen Hauptnenner:
[mm] \bruch{(x-\pi/2)+tan x}{tanx(x-\pi/2)} [/mm]
der Nenner konvergiert nach der 1. AUfgabe zu -1.
[mm] (x-\pi/2) [/mm] geht gegen 0 und tan(x) geht gegen +- [mm] \infty
[/mm]
stimmt das??
aber damit hätte ich ja kein endliches Ergebnis....
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Hallo nochmal,
> Ahh ok.. die Definition für die KOnvergenz kannte ich
> nicht... danke!!!
>
> wenn ich mir jetzt den 2. Term anschaue, bringe ich alles
> auf einen Hauptnenner:
>
> [mm]\bruch{(x-\pi/2)+tan x}{tanx(x-\pi/2)}[/mm]
Moment mal. Die Aufgabe b) lautete doch:
> b) $ [mm] \limes_{x\rightarrow\\pi/2} \left(\tan{x}+\bruch{1}{x-\pi/2}\right) [/mm] $
Der Hauptnenner ist dann doch einfach [mm] (x-\pi/2).
[/mm]
Also ab hier: alles Unsinn. Trotzdem noch eine Bemerkung dazu (s.u.):
> der Nenner konvergiert nach der 1. AUfgabe zu -1.
>
> [mm](x-\pi/2)[/mm] geht gegen 0 und tan(x) geht gegen +- [mm]\infty[/mm]
>
> stimmt das??
> aber damit hätte ich ja kein endliches Ergebnis....
Wenn das so wäre, dann hättest Du gezeigt, dass kein Grenzwert existiert. Auch das wäre ja eine Lösung im Sinne der Aufgabe. Aber wie gesagt stimmt Deine Zusammenfassung nicht.
Auch hier wirst Du wieder l'Hospital brauchen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Oh man ich muss echt besser aufpassen...
ok dann ist
lim [mm] \bruch{(x-\pi/2)tanx+1}{(x-\pi/2)}
[/mm]
muss ich hier L#H anwenden, weil im nenner geht der Term gegen 0 ??? Oder nur wenn 0/0 ???
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Hallo,
> Oh man ich muss echt besser aufpassen...
Jaaa. 
> ok dann ist
> lim [mm]\bruch{(x-\pi/2)tanx+1}{(x-\pi/2)}[/mm]
Genau, das ist zu untersuchen für [mm] x\to\tfrac{\pi}{2}
[/mm]
> muss ich hier L#H anwenden, weil im nenner geht der Term
> gegen 0 ??? Oder nur wenn 0/0 ???
Wenn Du schon so fragst: nur wenn 0/0. Oder wenn [mm] \infty/\infty.
[/mm]
Was macht denn der Zähler so?
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ach Blödsinn!!!
das Produkt geht ja gegen -1 damit sthet oben auch o dann haben wir 0/0 also l'hospital
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Sag ich doch. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 17.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Wenn ich dann l'h anwende bekomme ich [mm] -sin^2 [/mm] x also das gleiche wie in der ersten Aufgabe
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Hallo nochmal,
> Wenn ich dann l'h anwende bekomme ich [mm]-sin^2[/mm] x also das
> gleiche wie in der ersten Aufgabe
Hm. Im Nenner ergibt sich 1.
Im Zähler ist [mm] (x-\pi/2)\tan{x}+1 [/mm] abzuleiten. Das hast Du in der Tat schonmal gemacht.
Was ist also das Ergebnis?
Grüße
reverend
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