www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterien < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzkriterien: Reihen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:51 Di 14.12.2004
Autor: KingMob

Hallo,
kann mir bitte jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe geben?
"Seien die Folgen (an) und (bn) mit n [mm] \in \IN [/mm] mit an > 0 und bn > 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an/bn = 1. Man zeige :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] an konvergiert genau dann, wenn  [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] bn konvergiert."
Mir ist schon klar, dass beide Richtungen des Beweises analog gehen müssen...
        
Bezug
Konvergenzkriterien: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Di 14.12.2004
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo,
>  kann mir bitte jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe
> geben?

Okay: Tipps! :-)

>  "Seien die Folgen (an) und (bn) mit n [mm]\in \IN[/mm] mit an > 0

> und bn > 0 für alle n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] an/bn = 1.

Zunächst gebe dir ein festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ (z.B. [mm] $\varepsilon=1$) [/mm] vor und zeige:

[mm] $(\star)$ [/mm] Es existiert ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$, [/mm] so dass [m]|a_n-b_n|<\varepsilon b_n[/m] [mm] ($\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$).

Sei nun [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} b_n$ [/mm] konvergent. Folgere dann mithilfe der Dreiecksungleichung:
Wegen [mm] $|a_n|=|a_n-b_n+b_n|\le |a_n-b_n|+\underbrace{b_n}_{=|b_n|,\;weil\;b_n > 0}$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] folgt dann mithilfe von [mm] $(\star)$ [/mm] auch die Konvergenz von [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n$. [/mm]

Umgekehrt:
Ist [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] konvergent, so beachte, dass mit [m]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1[/m] auch [m]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=1[/m] gilt (warum?).
Der Rest geht dann vollkommen analog.

Hm, vielleicht nenne ich das doch besser Beweisskizze. ;-)

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]