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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Zeige das eine natürliche Zahl K existiert, sodass für alle k >= K gilt:
k^(1/k) - 1/k >=1
Dies bedeutet, dass 1/k schneller gegen 0 geht, als k^(1/k) gegen 1.
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> Zeige dass eine natürliche Zahl K existiert, sodass für alle
> k >= K gilt:
> k^(1/k) - 1/k >=1
> Dies bedeutet, dass 1/k schneller gegen 0 geht, als
> k^(1/k) gegen 1.
Hallo Phorkyas,
man kann die Ungleichung umformen zu
$\ [mm] k^\bruch{1}{k}\ge 1+\bruch{1}{k}$
[/mm]
Beidseitig mit dem Exponenten k potenziert:
$\ [mm] k\ge \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k$
[/mm]
Auf der rechten Seite steht das k-te Glied der
Folge, durch deren Grenzwert für [mm] k\to\infty [/mm] man
normalerweise die Zahl e definiert. Da diese
Folge monoton steigend gegen e=2.718...
konvergiert, sind alle ihre Glieder insbesondere
auch kleiner als 3. Die Ungleichung gilt also
für alle [mm] k\in\IN [/mm] mit [mm] k\ge [/mm] K=3.
Gruß nach Züri ! Al-Chw.
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