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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Di 27.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Q-Ordnung der folgenden Nullfolgen:
1) [mm]u_n=n^{-10}[/mm]
2) [mm]v_n=n^{10}\cdot 3^{-n}[/mm]
3) [mm]w_n=10^{-3\cdot 2^n}[/mm]
Def:
Sei [mm] (\varepsilon_k)_{k\in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R}^+[/mm] eine Nullfolge, d.h. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \varepsilon_k=0[/mm]. Wir sagen, die Folge konvergiert
- (mindestens) Q-linear (oder mit der Q-Ordnung p=1) mit Kontraktionskonstante [mm]\kappa[/mm], falls [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}sup\frac{\varepsilon_k}{\varepsilon_{k-1}}=:\kappa < 1[/mm]
- Q-überlinear, falls [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{\varepsilon_k}{\varepsilon_{k-1}}=0[/mm]
- (mindestens) mit der Q-Ordnung p>1, falls [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}sup\frac{\varepsilon_k}{\varepsilon_{k-1}} \in \mathbb{R}[/mm] |
Hallo,
ich habe die Lösungen zu diesen Aufgaben, verstehe sie aber nicht.
Mein Ansatz war folgender:
1) [mm] \frac{n^{-10}}{(n-1)^{-10}}=(\frac{n-1}{n})^{10}[/mm]
In der Lösung steht jetzt, dass diese Folge keine Q-Ordnung besitzt.
Warum ist das so ?
2) [mm]\frac{n^{10}\cdot 3^{-n}}{(n-1)^{10}\cdot 3^{-(n-1)}}=\frac{3^{n-1}\cdot n^{10}}{3^n(n-1)^{10}}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{n}{n-1})^{10}[/mm]
In der Lösung steht Q-linear - wieso ?
3) [mm]\frac{10^{-3\cdot 2^n}}{10^{-3\cdot 2^{n-1}}}=\frac{10^{3\cdot2^{n-1}}}{10^{3\cdot 2^n}}=\frac{1}{10^6}[/mm]
In der Lösung steht Q-linear. Warum ist das nicht Q-Ordnung 6 ?
Danke im Voraus, Susanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie Q-Ordnung der folgenden Nullfolgen:
> 1) [mm]u_n=n^{-10}[/mm]
> 2) [mm]v_n=n^{10}\cdot 3^{-n}[/mm]
> 3) [mm]w_n=10^{-3\cdot 2^n}[/mm]
> Def:
> Sei [mm](\varepsilon_k)_{k\in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R}^+[/mm]
> eine Nullfolge, d.h. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \varepsilon_k=0[/mm].
> Wir sagen, die Folge konvergiert
> - (mindestens) Q-linear (oder mit der Q-Ordnung p=1) mit
> Kontraktionskonstante [mm]\kappa[/mm], falls
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}sup\frac{\varepsilon_k}{\varepsilon_{k-1}}=:\kappa < 1[/mm]
>
> - Q-überlinear, falls
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{\varepsilon_k}{\varepsilon_{k-1}}=0[/mm]
> - (mindestens) mit der Q-Ordnung p>1, falls
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}sup\frac{\varepsilon_k}{\varepsilon_{k-1}} \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe die Lösungen zu diesen Aufgaben, verstehe sie
> aber nicht.
> Mein Ansatz war folgender:
> 1) [mm]\frac{n^{-10}}{(n-1)^{-10}}=(\frac{n-1}{n})^{10}[/mm]
>
> In der Lösung steht jetzt, dass diese Folge keine
> Q-Ordnung besitzt.
Das versteh ich auch nicht. Es ist $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}sup\frac{u_k}{u_{k-1}}=1 \in \IR [/mm] $.
Also: (mindestens) mit der Q-Ordnung p>1.
> Warum ist das so ?
>
> 2) [mm]\frac{n^{10}\cdot 3^{-n}}{(n-1)^{10}\cdot 3^{-(n-1)}}=\frac{3^{n-1}\cdot n^{10}}{3^n(n-1)^{10}}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{n}{n-1})^{10}[/mm]
>
> In der Lösung steht Q-linear - wieso ?
Hier ist [mm] \kappa=\frac{1}{3}<1.
[/mm]
>
> 3) [mm]\frac{10^{-3\cdot 2^n}}{10^{-3\cdot 2^{n-1}}}=\frac{10^{3\cdot2^{n-1}}}{10^{3\cdot 2^n}}=\frac{1}{10^6}[/mm]
>
> In der Lösung steht Q-linear. Warum ist das nicht
> Q-Ordnung 6 ?
Hier ist Hier ist [mm] \kappa=\frac{1}{10^6}<1.
[/mm]
FRED
>
> Danke im Voraus, Susanne
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 27.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
jetzt verstehe ich es besser, vielen Dank für Deine Hilfe !
LG, Susanne
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