Konvergenzen von Folgen zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mo 28.04.2008 | | Autor: | sky85m |
| Aufgabe | a) Zz: Folge (an) ist (ab einer Stelle) monoton. an = (100n) / [mm] (n^2 [/mm] +16);
b) Zz: Konvergenz der Folge (an). an = 10/1 * 11/3 * ... * (n+9) / (2n-1);
c) Zz: Konvergenz der Folge (an). an = 1 + [mm] 1/2^2 [/mm] + [mm] 1/3^2 [/mm] + ... + [mm] 1/n^2 [/mm] |
Wie kann ich bei a) zeigen, dass die Folge (an) (ab einer Stelle) monoton ist?
Wie kann ich Konvergenzen von Folgen zeigen ( b), c) )?
Gibt es hierbei ein konkrete Herangehensmethode?
Kann jemand evtl. ein Beispiel nennen oder sogar an den oben genannten Aufgaben ansetzen?
Vielen Dank für Eure Unterstützung :)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Zz: Folge (an) ist (ab einer Stelle) monoton. an =
> (100n) / [mm](n^2[/mm] +16);
>
> b) Zz: Konvergenz der Folge (an). an = 10/1 * 11/3 * ... *
> (n+9) / (2n-1);
>
> c) Zz: Konvergenz der Folge (an). an = 1 + [mm]1/2^2[/mm] + [mm]1/3^2[/mm] +
> ... + [mm]1/n^2[/mm]
> Wie kann ich bei a) zeigen, dass die Folge (an) (ab einer
> Stelle) monoton ist?
[mm] $a_n=\frac{100n}{n^2+16}$
[/mm]
Wonach schaut's denn erstmal aus? Das ist eine Folge in [mm] $(0,\infty)$, [/mm] die wohl gegen $0$ strebt, weil der Nenner dafür hinreichend schnell zu wachsen scheint. (Wobei man diese "Vermutung" auch formal eigentlich sehr schnell sehr leicht einsieht, wenn man [mm] $|a_n|$ [/mm] mal nach oben abschätzt.)
In dem Sinne wäre es schlecht, wenn diese Folge monoton wachsend wäre ab einem gewissen $n$. Also Vermutung:
Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] ab dem [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend ist, d.h. Du solltest versuchen, zu zeigen:
Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1$ (vielleicht klappt sogar $<$ anstelle von [mm] $\le$, [/mm] dann hat man sogar "streng monoton fallend").
Ich gebe Dir mal den Tipp, zu versuchen, [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] nach oben abzuschätzen, so dass das gewünschte rauskommt. Beachte: Du musst nur die Existenz eines solchen [mm] $n_0$'s [/mm] nachweisen, dafür muss das [mm] $n_0$ [/mm] nicht das kleinstmögliche (in diesem Sinne: "beste") [mm] $n_0$ [/mm] sein...
Wenn die Folge ab $n=1000$ monoton fallend ist und Du aber zeigst, dass sie ab [mm] $n_0=10^{10}$ [/mm] monoton fallend ist, dann ist das genauso gut...
Und wenn Du Dir mal den Graphen von $x [mm] \mapsto \frac{100x}{x^2+16}$ [/mm] anguckst, dann wirst Du jedenfalls sehen, dass man es schon für ein sehr kleines [mm] $n_0$ [/mm] zeigen kann. Aber wie gesagt:
Vielleicht zeigst Du einfach nur:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge n_0:=100$, [/mm] das wäre hier genauso gut...
> Wie kann ich Konvergenzen von Folgen zeigen ( b), c) )?
> Gibt es hierbei ein konkrete Herangehensmethode?
b) Hier läßt sich [mm] $a_n$ [/mm] mit dem Produktzeichen so schreiben:
[mm] $a_n=\produkt_{k=1}^{n} \frac{k+9}{2k-1}$
[/mm]
Das ist aber nicht so wichtig. Wichtig ist für $n > 21$:
[mm] $a_n=\frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{29}{39}*\underbrace{\frac{30}{41}}_{\mbox{hier ist }k=21}* \frac{31}{43}*...*\frac{n+9}{2k-1}$
[/mm]
Zeige nun, dass [mm] $\frac{k+9}{2k-1} \le \frac{3}{4}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] 21$. Zudem setze:
[mm] $M:=\produkt_{k=1}^{20} \frac{k+9}{2k-1}=\frac{10}{1}*\frac{11}{3}*...*\frac{29}{39}$
[/mm]
Für jedes $n [mm] \ge [/mm] 21$ gilt dann:
[mm] $a_n=\left(\produkt_{k=1}^{20} \frac{k+9}{2k-1}\right)*\left(\produkt_{k=21}^{n} \frac{k+9}{2k-1}\right)=M*\left(\frac{30}{41}*\frac{31}{43}*...*\frac{n+9}{2n-1}\right)$
[/mm]
Damit folgt
[mm] $|a_n| \le [/mm] M* [mm] \left(\frac{3}{4}\right)^{\red{???}}$ [/mm]
(Wichtig ist, dass Du oben die drei roten Fragezeichen durch einen vernünftigen Index ersetzt. Im Falle $n=21$ könnte man sie durch $1$ ersetzen, im Falle $n=22$ durch $2$, im Falle... Also?)
Was folgt damit (beachte, dass $M$ konstant)?
> Kann jemand evtl. ein Beispiel nennen oder sogar an den
> oben genannten Aufgaben ansetzen?
>
> Vielen Dank für Eure Unterstützung :)
noch zu c):
Dort steht
[mm] $a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2}$
[/mm]
Hier kann man ausnutzen, dass für jedes feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
Für jedes $k [mm] \in \{2,...,n\}$ [/mm] gilt
[mm] $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
[/mm]
Weiter geht's mit Ziehharmonikasumme und damit hat man dann nach dem Majorantenkriterium eine konvergente Majorante für die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ [/mm] gefunden.
P.S.:
Zu c) fällt mir gerade ein, dass Du hier vermutlich einfacher argumentieren solltest, da Du wahrscheinlich Begriffe wie Majorantenkriterium noch nicht kennst und ihr vll. Reihen auch noch nicht behandelt habt:
Nutze diese Abschätzungen, um zu zeigen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] dort nach oben beschränkt ist. Denn dass dort [mm] $(a_n)_n$ [/mm] streng monoton wachsend ist, ist eine Banalität (da [mm] $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2} [/mm] > [mm] a_n$ [/mm] für jedes $n$). Die Konvergenz folgt dann nach dem Hauptsatz über monotone Folgen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mo 28.04.2008 | | Autor: | sky85m |
Hey, vielen Dank.
Ich werde mir das jetzt mal vor Augen führen und durchrechnen.
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