Konvergenzbeweis einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] sei gegeben durch
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a^{2}_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. |
Also grundsätzlich würde ich da mit vollständiger Induktion rangehen, um erstmal [mm] a_{n} [/mm] zu ermitteln.
Ist das schon falsch oder wäre das erstmal eine Möglichkeit?
Dann ist ja der Induktionsschritt
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{n+1}
[/mm]
Also
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a^{2}_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Ist das schon vom Grundsatz falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lexjou!
Ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist, die rekursive Folgenvorschrift in eine explizite umzuwandeln.
Zeige, dass die Folge beschränkt und monoton ist. Daraus folgt unmittelbar die Konvergenz.
Für den Grenzwert selber kannst Du dann ansetzen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Mi 01.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Ich kann den Zusammenhang zwischen Deiner Antwort und der von abakus nicht erkennen!
Wie kommt man auf [mm] a_{n}<0,5?
[/mm]
Und wie komme ich überhaupt auf [mm] a_{n}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dein Anfang $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] a_{n} [/mm] $ + $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ist schon sehr falsch, daraus folgt ja [mm] a_n=0
[/mm]
meistens findet man zu rekursiv definierten folgen keine explizite darstellung. du musst schon den konventionellen Weg gehen. zeigen, dass die folge monoton steigt oder fällt, und eine obere oder unterre schranke hat.
was der Fall ist kann man fast immer sehen, indem man die ersten paar glieder ansieht. Dann geht man daran, das zu beweisen.
hier hast du schon den Tip dass alle folgengl. <0,5 sind. also beweis das zuerst, und dann dass sie monoton steigen.
auf [mm] a_4 [/mm] kommst du nur, wenn du schon [mm] a_3 [/mm] kennst. Auf [mm] a_n [/mm] kommst du ,wenn du [mm] a_{n-1} [/mm] kennst. [mm] a_n [/mm] direkt auszurechnen wird dir kaum gelingen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Mi 01.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Ach so... verstehe...!
auf <0,5 komme ich, wenn ich die Wurzel ziehe aus [mm] a_{0} [/mm] und da alle Folgeglieder mit [mm] a^{2}_{n}+\bruch{1}{4} [/mm] gegeben sind, könnte ich je "theoretisch um es mir leichter zu machen" die Wurzel ziehen aus allen Folgegliedern. Und Wurzelfunktionen sind immer monoton und beschränkt. Also existiert auch ein Grenzwert!
Würde das reichen wenn ich das in Worte fasse oder meinst Du ich muss da große Rechenwege angeben? Die kann ich ja eh nicht angeben, da ich [mm] a_{n} [/mm] nicht gegeben habe...?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ach so... verstehe...!
> auf <0,5 komme ich, wenn ich die Wurzel ziehe aus [mm]a_{0}[/mm]
> und da alle Folgeglieder mit [mm]a^{2}_{n}+\bruch{1}{4}[/mm] gegeben
> sind, könnte ich je "theoretisch um es mir leichter zu
> machen" die Wurzel ziehen aus allen Folgegliedern. Und
> Wurzelfunktionen sind immer monoton und beschränkt. Also
> existiert auch ein Grenzwert!
> Würde das reichen wenn ich das in Worte fasse
Nein.
Zeige induktiv:
1. [mm] $0
2. [mm] a_n \le a_{n+1} [/mm] für alle n.
Das ist alles völlig unproblematisch
FRED
> oder meinst
> Du ich muss da große Rechenwege angeben? Die kann ich ja
> eh nicht angeben, da ich [mm]a_{n}[/mm] nicht gegeben habe...?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mi 01.12.2010 | | Autor: | abakus |
> > Ach so... verstehe...!
Da bin ich mir nicht mehr so sicher.
> > auf <0,5 komme ich, wenn ich die Wurzel ziehe aus [mm]a_{0}[/mm]
> > und da alle Folgeglieder mit [mm]a^{2}_{n}+\bruch{1}{4}[/mm] gegeben
> > sind, könnte ich je "theoretisch um es mir leichter zu
> > machen" die Wurzel ziehen aus allen Folgegliedern. Und
Hier darst du überhaupt keine Wurzeln anwenden.
[mm] a_1=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] a_2=a_1^2+\bruch{1}{4}=(\bruch{1}{4})^2+\bruch{1}{4}=\bruch{5}{16}
[/mm]
[mm] a_3=a_2^2+\bruch{1}{4}=(\bruch{5}{16})^2+\bruch{1}{4}=\bruch{25+64}{256}
[/mm]
usw.
Schreibe einfach in Excel in die Zelle A1 den Wert 0,25.
Schreibe in A2 folgendes:
= A1 ^ 2 + 0,25
Kopiere den Inhalt der Zelle A2 nach unten (z.B. bis A1000).
Jetzt siehst du, wie sich die Werte entwickeln. Der 1000. Wert ist z.B. ca. 0,499.
Gruß Abakus
> > Wurzelfunktionen sind immer monoton und beschränkt. Also
> > existiert auch ein Grenzwert!
> > Würde das reichen wenn ich das in Worte fasse
>
> Nein.
>
> Zeige induktiv:
>
> 1. [mm]0
>
> 2. [mm]a_n \le a_{n+1}[/mm] für alle n.
>
> Das ist alles völlig unproblematisch
>
> FRED
>
>
> > oder meinst
> > Du ich muss da große Rechenwege angeben? Die kann ich ja
> > eh nicht angeben, da ich [mm]a_{n}[/mm] nicht gegeben habe...?!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mi 01.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Abakus,
dafür brauche ich kein Excel, dafür habe ich einen Grafiktaschenrechner!
Ich habe die Aufgabe mit vollständiger Induktion gelöst, aber es wäre schön, wenn es das nächste Mal nicht ganz so herablassend wäre!
Denn solche Bemerkungen wie
"Da bin ich mir nicht so ganz sicher"
finde ich persönlich 1. nicht nett und 2. gehört das nicht hier her!
Man kann eine Antwort auf eine Frage auch sachlich kommentieren!
Trotzdem Danke für den Ansatz!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Di 30.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo lexjou!
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> Ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist, die rekursive
> Folgenvorschrift in eine explizite umzuwandeln.
>
> Zeige, dass die Folge beschränkt und monoton ist. Daraus
> folgt unmittelbar die Konvergenz.
>
> Für den Grenzwert selber kannst Du dann ansetzen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo lexjou,
mit den Möglichkeiten der Neuzeit (ein Programm schreiben oder einfach nur Excel verwenden) hat man in einer Minute die ersten 100 oder 1000 Folgenglieder und sieht, dass diese alle kleiner als 0,5 sind (sieht man auch beim Rechnen "zu Fuß", dauert nur etwas länger).
Nun ist nachzuweisen: Wenn [mm] a_n<0.5, [/mm] dann auch [mm] a_{n+1}<0.5 [/mm] .
Gruß Abakus
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