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Woran liegt es, dass [mm] \summe_{k=1}^\infty{\bruch{1}{k^n}} [/mm] für n>1 konvergiert und für n [mm] \le [/mm] 1 divergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 So 26.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Falk,
gute Frage. Letztlich am Logarithmus [mm] (\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} \approx [/mm] ln(n) + [mm] \gamma).
[/mm]
Schau Dir mal zu diesem Thema den Artikel über die harmonische Reihe in Wikipedia an. Vielleicht bringt das mehr Erkenntnis.
Gruß
Uli
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Dich wundert sicher, dass diese Eigenschaft so "schlagartig" eintritt. Das ist aber bei Konvergenzen oft so: Die geometrische Reihe konvergiert für |q|<1 und für |q|=1 schlagartig nicht mehr, und dieses Verhalten findest du überall für endliche Konvergenzradien von Potenzreihen.
Nun zu deinem Problem:
Zeichne zur gesuchten Summe
[mm]\summe_{k=1}^\infty{\bruch{1}{k^n}}[/mm]
den Gaphen von [mm] f(x)= \bruch{1}{x^n}}[/mm].
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deine Summanden sind dann die Werte f(1), f(2), f(3)..., die du aufsummieren sollst. Diese Werte findest du als Höhen der von mir eingezeichneten roten Linien wieder.
Ergänzt man diese Linien nun durch einen entsprechend hohen Balken der Breite 1, so entspricht die Fläche dieses Balkens gerade dem Wert des jeweiligen Summanden. Also gibt die Gesamtfläche der Balken den Wert der Summe wieder.
Für n=1 ziehst du die Balkenbreiten immer nach rechts (der Balken steht rechts von der Ausgangshöhe), so dass du die grüne+gelbe Fläche als Summand bekommst. Die Summe besteht somit aus der grünen+gelben Gesamtfläche und ist somit größer als die Fläche unterhalb des Graphen. Diese Fläche ist aber
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch {1}{x} dx}=ln(\infty)-ln(1)=\infty
[/mm]
Also divergiert die Reihe.
Für n>1 ziehst du die Balkenbreiten immer nach links (der Balken steht links von der Ausgangshöhe), so dass du nur die grüne Fläche als Summand bekommst. Die Summe besteht somit aus dem ersten Summanden 1 (hier nicht eingezeichnet) und der der grünen Gesamtfläche und ist somit kleiner als die Fläche unterhalb des Graphen + 1. Diese Fläche ist aber
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch {1}{x^n} dx}=\left[\bruch{1}{(1-n)x^{n-1}}\right]_{1}^{\infty}=\bruch{1}{(1-n)\infty^{n-1}}-\bruch{1}{(1-n)1^{n-1}}=0-(\bruch{1}{(1-n)})=\bruch{1}{(n-1)}.
[/mm]
Also konvergiert die Reihe, weil sie einen kleineren Wert als [mm] 1+\bruch{1}{(n-1)}= \bruch{n}{(n-1)}hat.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 26.10.2008 | | Autor: | mathpsycho |
Vielen Dank! Die Idee die zugehörige Integralfunktion für den Fall n>1 als konvergente Majorante zu benutzen finde genial. Außerdem kann man sie verschieben und als divergente Minorante verwenden, um nachzuweisen, dass die Reihe für n<1 divergiert. Der sprunghafte Übergang von Divergenz zu Konvergenz bei n=1 passt gut damit zusammen, dass die Potzenregel für n=-1 nicht gilt. Für n [mm] \not= [/mm] 1 finde ich es wegen des Unterschieds zwischen einem positiven oder negativen Exponenten ebenfalls einleuchtend. Du hast mir wirklich sehr geholfen.
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