Konvergenzbereich Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Fr 06.01.2012 | | Autor: | krueemel |
Es ist zu folgender Funktion die Taylor-Reihe zu bilden und dessen Konvergenzbereich anzugeben:
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^{2}}-\bruch{2}{x}
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = 1
Taylor-Reihe lautet:
-1 + 1 [mm] (x-1)^{2} [/mm] - 2 [mm] (x-1)^{3} [/mm] + 3 [mm] (x-1)^{4} \pm
[/mm]
Und wie berechnet man nun den Konvergenzbereich?
es gilt ja:
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
hier:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1} [/mm] = 1
also:
|x - [mm] x_{o}| [/mm] < r
| x - 1 | < r
|x| < r + 1 (ist das erlaubt?)
|x| < 2
Stimmt die Berechnung des Konvergenzbereiches?
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Hallo krueemel,
> Es ist zu folgender Funktion die Taylor-Reihe zu bilden und
> dessen Konvergenzbereich anzugeben:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{2}{x}[/mm]
> [mm]x_0[/mm] = 1
>
> Taylor-Reihe lautet:
> -1 + 1 [mm](x-1)^{2}[/mm] - 2 [mm](x-1)^{3}[/mm] + 3 [mm](x-1)^{4} \pm[/mm]
>
> Und wie berechnet man nun den Konvergenzbereich?
>
> es gilt ja:
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> hier:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1}[/mm] = 1
>
> also:
> |x - [mm]x_{o}|[/mm] < r
> | x - 1 | < r
> |x| < r + 1 (ist das erlaubt?)
Das ist nur erlaubt, wenn [mm]x-1\ge 0[/mm]
> |x| < 2
>
> Stimmt die Berechnung des Konvergenzbereiches?
Die angegebene Potenzreihe konvergiert für [mm]\vmat{x-1}<1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Fr 06.01.2012 | | Autor: | krueemel |
und wieso steht dann im Anhang (Lösungen) vom Papula (Band 2, S. 790) folgendes:
Konvergensbereich:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Sa 07.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> und wieso steht dann im Anhang (Lösungen) vom Papula (Band
> 2, S. 790) folgendes:
>
> Konvergensbereich:
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
Das ist falsch, die Reihe divergiert an den Rändern, wie du durch Einsetzen für x sofort siehst.
Das Konvergenzintervall ist [mm] $|x-1|<1\gdw [/mm] 0<x<2$.
Viele Grüße
Rainer
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