Konvergenzbereich Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Sa 02.08.2008 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:
[mm] 1+0.5x+0.25x^2 [/mm] + [mm] 0.125x^3...
[/mm]
Welche Funktion stellt diese Reihe im Konvergenzbereich dar? |
Also wollte ich erst mal den Konvergenzberech feststellen.
Dazu brauch ich ja das allgemien Glied. Was ich meine mit [mm] 2^n [/mm] gefunden zu haben.
Ich bilde also den Limes n->und. mit [mm] 2^n/ (2^n*2) [/mm] kürze [mm] 2^n [/mm] und bekomme 0 raus.
Also nach meiner Berechnung ist der Konvergenzbereich 0. Da habe ich schon meine Zweifel und was dann dazu kommt, Welche Funktions stellt sie in einem nicht vorhanden Konvergenzbereich (oder ist er nur nicht zu bestimmen?) dar?
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Hallo,
Die Potenzreihe lautet
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}{\left(\bruch{1}{2}\right)^{n}*x^{n}}
[/mm]
Das kam bei dir noch nicht ganz raus. Die Zahlen vor dem x werden ja immer halbiert, nicht verdoppelt! Berechne nochmal neu den Konvergenzbereich. Du brauchst nicht unbedingt ein renommiertes Verfahren anwenden, wenn du dich mit geometrischen Reihen auskennst 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 02.08.2008 | | Autor: | cmg |
Argh, hatte mich auch verschrieben.
Allgemeine Glied hatte ich natürlich [mm] 1/2^n.
[/mm]
Allerdings habe ich beim kürzen wohl einen Moment nicht aufgepasst und angenommen im Nenner Stünde eine 0 statt 1.
Okay. Also ist der Konvergenzberech 2.
Bleibt noch die andere Frage, welche Funktion sie im Konvergenzbereich darstellt. Kann mir dazu noch jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
also wenn $|x|<2$ ist, dann ist [mm] $\left|\frac{1}{2}\cdot x\right|=\frac{|x|}{2}<1$. [/mm] Dann kann man die Reihe auch schreiben als
[mm] $\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n\stackrel{geom. Reihe}{=}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=...$
[/mm]
Gruß Framl
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