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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Mofdes |
| Aufgabe | Untersuchen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums den Konvergenzbereich folgender Funktionsreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{∞}((\wurzel{5}-x)^n)/(n^2+x)
[/mm]
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Also das Quotientenkriterium lautet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|a_{n+1}/a_{n}|=q [/mm] und q<1 für Konvergenz.
Nun muss ich ja den Intervall des Konvergenzbereiches angeben und dazu muss ich geschickt umformen. Genau da liegt mein Problem. Ich kann es einfach nicht in eine passende Form umformen.
So weit bin ich für q gekommen:
[mm] |((\wurzel{5}-x)*(n^2+x))/((n+1)^2+x)|<1
[/mm]
Natürlich habe ich auch eine ausmultiplizierte Form. Leider sehe ich nicht, wie ich weiter vereinfachen kann/soll, damit ich ein Intervall für x rausbekomme.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 So 02.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums den
> Konvergenzbereich folgender Funktionsreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{∞}((\wurzel{5}-x)^n)/(n^2+x)[/mm]
>
> Also das Quotientenkriterium lautet:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|a_{n+1}/a_{n}|=q[/mm] und q<1 für
> Konvergenz.
>
> Nun muss ich ja den Intervall des Konvergenzbereiches
> angeben und dazu muss ich geschickt umformen. Genau da
> liegt mein Problem. Ich kann es einfach nicht in eine
> passende Form umformen.
>
> So weit bin ich für q gekommen:
> [mm]|((\wurzel{5}-x)*(n^2+x))/((n+1)^2+x)|<1[/mm]
Hallo,
der Term [mm] (n^2+x)/((n+1)^2+x) [/mm] geht für immer größer werdende n (unabhängig vom verwendeten x-Wert) gegen 1.
Damit muss [mm] (\wurzel{5}-x) [/mm] einfach nur kleiner als 1 (und größer als -1) sein.
Gruß Abakus
> Natürlich habe ich auch eine ausmultiplizierte Form.
> Leider sehe ich nicht, wie ich weiter vereinfachen
> kann/soll, damit ich ein Intervall für x rausbekomme.
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
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