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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Fr 15.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
| Aufgabe | Beweisen Sie für |x|<1 und [mm] m\in\IN [/mm] die Entwicklung
[mm] \bruch{1}{(1-x)^m}=1+\summe_{n=1}^{\infty}(\produkt_{k=1}^{n}\bruch{m-1+k}{k})x^n. [/mm] |
also zuerst habe ich den konvergenzbereich berechnet. das ging so nach dem schema aus dem tutorium und hat auch super geklappt. bin da auf konvergenzbereich (-1,1) gekommen.
und nun hatten wir im tutorium noch beispiele dafür, dass man versuchen muss, innerhalb der summe eine ableitung hinzubasteln, um die koeffizienten wegzubekommen. somit habe ich mal versucht, das umzustellen:
[mm] 1+\summe_{n=1}^{\infty}(\produkt_{k=1}^{n}\bruch{m-1+k}{k})x^n=1+\summe_{n=1}^{\infty}(\produkt_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}*(m-1+k))x^n=1+\summe_{n=1}^{\infty}(\produkt_{k=1}^{n}(m-1+k))*\bruch{1}{n!}x^n=1+\summe_{n=1}^{\infty}(\produkt_{k=1}^{n}(m+(-1+k)))*\bruch{1}{n!}x^n
[/mm]
[mm] =1+\summe_{n=1}^{\infty}(\produkt_{k=0}^{n-1}(m+k))*\bruch{1}{n!}x^n=1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(m+n-1)!}{(m-1)!}*\bruch{1}{n!}x^n=1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(m+n-1)!}{(m-1)!}*\bruch{1}{n!}x^n*\bruch{x^m}{x^m}=1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(m+n-1)!}{(m-1)!}*\bruch{1}{n!}x^{n+m}*\bruch{1}{x^m}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{x^m}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(m+n-1)!}{(m-1)!}*\bruch{1}{n!}x^{n+m}=1+\bruch{1}{x^m}*x^{n+1}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(m+n-1)!}{(m-1)!}*\bruch{1}{n!}x^{m-1}
[/mm]
so hoffe, es sind nicht zu viele fehler drin xD so nun steht ja innerhalb der summe die n-te ableitung von [mm] x^{m+n}, [/mm] allerdings noch mit [mm] \bruch{1}{n!}, [/mm] was ja noch stört. wie bekomme ich die weg oder was habe ich falsch gemacht? ist meine herangehensweise richtig?
bitte um hilfe. danke schonmal
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Hi Snoopy
Deine Umformungen sind bis auf die letzte Gleichung
([mm] x^{n+1} [/mm] darst du nicht aus der Summe ziehen) soweit korrekt.
Mir ist allerdings nicht klar wie man so weiter kommt. Mein Vorschlag:
Merk dir
[mm] 1+\sum_{n=1}^\infty{(\prod_{k=1}^n{\frac{m- 1+k}{k}})x^n}=1+\sum_{n=1}^\infty{\frac{(m+n-1)!}{(m+1)!}\cdot\frac{1}{n!}x^n} [/mm]
und betrachte erst mal die linke Seite der Gleichung
[mm] g(x):=(1-x)^{-m}. [/mm]
Taylorentwicklung um den Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] liefert
dir eine Darstellung der Form:
[mm] g(x)=\sum_{n=0}^r{\frac{g^{(n)}(0)}{n!}}x^n+R_r(x;0) [/mm]
mit einem Restglied [mm] R_r(x;0) [/mm]. Übeleg mal was für [mm] r\to\infty [/mm] passiert.
Beste Grüße
DerSpunk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 So 17.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
ok, vielen dank für den tipp, das sieht wirklich besser aus^^
lg
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