Konvergenz zweier Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Do 24.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_1>0 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n}{1+na_n^2} [/mm] für [mm] n\in\IN. [/mm] Untersuchen Sie die Folgen [mm] {a_n}_{n\in\IN} [/mm] und [mm] {na_n}_{n\in\IN} [/mm] auf Konvergenz. Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls diese Folgen konvergieren. |
hallo,
ich bei dieser aufgabe probleme. zunächst weiß ich nicht wie die folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] na_n [/mm] aussehen und wie man konvergenz an sich zeigt. könnte mir jemand erklären wie ich vorgehen muss? :)
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> Sei [mm]a_1>0[/mm] und [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n}{1+na_n^2}[/mm] für [mm]n\in\IN.[/mm]
> Untersuchen Sie die Folgen [mm]{a_n}_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm]{na_n}_{n\in\IN}[/mm] auf Konvergenz. Bestimmen Sie die
> Grenzwerte, falls diese Folgen konvergieren.
zunächst zur Konvergenz von [mm] a_n.
[/mm]
a) Zeige [mm] a_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] also [mm] a_n [/mm] ist nach unten beschränkt durch Null.
b) Zeige, dass [mm] a_n [/mm] monoton fallend ist:
[mm] a_{n+1}-a_n<0 [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Nun konvergiert eine monoton fallend und nach unten beschränkte Folge bekanntlich gegen ein [mm] a\in\IR. [/mm] Für dieses muss gelten:
[mm] a=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{1+n*a^2}.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:18 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
danke das hat mir geholfen :)
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