Konvergenz zeigen m. Cauchyf. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 16.11.2008 | | Autor: | micha_2k |
| Aufgabe | | Zu zeigen: Die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} [/mm] konvergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsweg sieht so aus:
[mm] \forall \epsilon>0, \exists n_o\in\IN, \forall m,n>n_o [/mm] : [mm] |a_n-a_m|<\epsilon
[/mm]
O.b.d.A.: m = 2n
[mm] \left| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} + \frac{1}{4n-1} \right| \overbrace{\le}^{Dreiecksungleichung} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \right| [/mm] + [mm] \left| \frac{1}{4n-1} \right|
[/mm]
= [mm] \frac{1}{2n-1} [/mm] + [mm] \frac{1}{4n-1} \le \frac{1}{2n-1} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n-1}
[/mm]
= [mm] \frac{2}{2n-1} \le \frac{2}{n-1} \le \epsilon [/mm]
q.e.d.
Ist das richtig?
Wenn ja, ist es ausreichend genau beschrieben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Zu zeigen: Die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}[/mm]
> konvergiert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mein Lösungsweg sieht so aus:
>
> [mm]\forall \epsilon>0, \exists n_o\in\IN, \forall m,n>n_o[/mm] :
> [mm]|a_n-a_m|<\epsilon[/mm]
>
> O.b.d.A.: m = 2n
Das geht nicht !
FRED
>
> [mm]\left| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} + \frac{1}{4n-1} \right| \overbrace{\le}^{Dreiecksungleichung} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \right|[/mm]
> + [mm]\left| \frac{1}{4n-1} \right|[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2n-1}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{4n-1} \le \frac{1}{2n-1}[/mm] + [mm]\frac{1}{2n-1}[/mm]
> = [mm]\frac{2}{2n-1} \le \frac{2}{n-1} \le \epsilon[/mm]
>
> q.e.d.
>
> Ist das richtig?
> Wenn ja, ist es ausreichend genau beschrieben?
>
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> Zu zeigen: Die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}[/mm]
> konvergiert.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fred hat Dich ja schon darauf aufmerksam gemacht, daß die Allgemeinheit sehr wohl beschränkt wird, wenn man nur gerade Folgenglieder betrachtet. Du müßtest hier auf jeden fall die verschiedenen Kombinationen von gerade und ungerade durchrechnen.
Sollst Du das eigentlich unbedingt zeigen, indem Du "Cauchyfolge" nachweist?
Wogegen die Folge konvergiert, sieht man ja sofort, und wenn Du mit der [mm] \varepsilon- [/mm] Definition arbeitest, bist Du schnell fertig.
Gruß v. Angela
> Mein Lösungsweg sieht so aus:
>
> [mm]\forall \epsilon>0, \exists n_o\in\IN, \forall m,n>n_o[/mm] :
> [mm]|a_n-a_m|<\epsilon[/mm]
>
> O.b.d.A.: m = 2n
>
> [mm]\left| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} + \frac{1}{4n-1} \right| \overbrace{\le}^{Dreiecksungleichung} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \right|[/mm]
> + [mm]\left| \frac{1}{4n-1} \right|[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2n-1}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{4n-1} \le \frac{1}{2n-1}[/mm] + [mm]\frac{1}{2n-1}[/mm]
> = [mm]\frac{2}{2n-1} \le \frac{2}{n-1} \le \epsilon[/mm]
>
> q.e.d.
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> Ist das richtig?
> Wenn ja, ist es ausreichend genau beschrieben?
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