Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo,
mir ist es leider nicht gelungen, meine große Schwierigkeit bei dieser Aufgabe zu beseitigen:
Hier gibt es nur eine abstrakte Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN},$ [/mm] für die leider keine konkrete Folge definiert wird und ohne die sehe ich nicht, wie ich hier vorgehen kann?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp verraten könnte.
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Mehmen wir an, es gilt
:
(*) $ [mm] \underset{k \in \IN}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{N \in \IN}{\exists} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \ge N}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] $
Du mußt zeigen: [mm] (a_n) [/mm] konv. gegen a.
Nimm also ein [mm] \varepsilon> [/mm] 0 her. Wähle nun k [mm] \in \IN [/mm] so, dass $1/k < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
Was folgt nun aus (*) ?
FRED
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo Fred,
> Mehmen wir an, es gilt
>
> :
>
> (*) [mm]\underset{k \in \IN}{\forall}[/mm] [mm]\underset{N \in \IN}{\exists}[/mm]
> [mm]\underset{n \ge N}{\forall}[/mm] [mm]\left| a_{n}-a \right| < \bruch{1}{k}.[/mm]
>
> Du mußt zeigen: [mm](a_n)[/mm] konv. gegen a.
>
> Nimm also ein [mm]\varepsilon>[/mm] 0 her. Wähle nun k [mm]\in \IN[/mm] so,
> dass [mm]1/k < \varepsilon[/mm] ist.
>
> Was folgt nun aus (*) ?
ich raffe es einfach nicht. Meinst Du das so?
$1/k < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] k > [mm] 1/\varepsilon$
[/mm]
Wie zeige ich dann aber, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen a konvergiert?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
man schreibt immer zuerst die Def. dessen was man beweisen will auf.
wie ist definiert a:n konvergiert gegen a. Dann vergleiche mit freds Tip, oder frag nach, aber schreib hier deine Def, hin.
Gruss leduart
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo,
> wie ist definiert a:n konvergiert gegen a.
"Eine reelle Folge [mm] $(a_{n})$ [/mm] heißt konvergent, wenn es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] und zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ einen Index [mm] $n_{0}$ [/mm] gibt, von dem ab [mm] $\left| a_{n}-a \right|<\varepsilon$ [/mm] ist. Ein solches a heißt Grenzwert der Folge [mm] $(a_{n}).$
[/mm]
$a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$ [/mm] (bzw. [mm] $a_{n} \to [/mm] a$ für $n [mm] \to \infty$)
[/mm]
[mm] $:\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists n_{0} \in \IN$ $\forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] : [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt [mm] $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für fast alle n
[mm] $\gdw$ [/mm] Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt [mm] $\left| a_{n}-a \right| [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] für höchstens endlich viele n.
Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Sie heißt divergent, wenn sie keinen besitzt.
Konvergente Folgen sind beschränkt, unbeschränkte Folgen sind divergent."
Nochmals die Worte von Fred:
> Mehmen wir an, es gilt
>
> :
>
> (*) [mm]\underset{k \in \IN}{\forall}[/mm] [mm]\underset{N \in \IN}{\exists}[/mm]
> [mm]\underset{n \ge N}{\forall}[/mm] [mm]\left| a_{n}-a \right| < \bruch{1}{k}.[/mm]
>
> Du mußt zeigen: [mm](a_n)[/mm] konv. gegen a.
>
> Nimm also ein [mm]\varepsilon>[/mm] 0 her. Wähle nun k [mm]\in \IN[/mm] so,
> dass [mm]1/k < \varepsilon[/mm] ist.
>
> Was folgt nun aus (*) ?
Ich habe alles verglichen, sehe aber beim besten Willen nicht, wie ich das nicht konkret definierte [mm] $a_{n}$ [/mm] behandeln soll?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] a_n=1/n [/mm] ist
Beh. GW=0
dann hast du doch [mm] |a_n-0|=1/n1/\epsilon
[/mm]
denn aus [mm] n>1/\epsilon [/mm] folgt doch [mm] 1/n<\epsilon
[/mm]
du wählst also [mm] n_0=[1/\epsilon]+1 [/mm] und hast genau dass 0 der GW ist.
d,h. s ist immer das Ziel ein [mm] n_0(\epsilon)zu [/mm] finden.
Gruss leduart
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Danke leduart.
Eine Sache verstehe ich noch nicht und zwar warum ist GW=0 bei der Teilaufgabe a) bzw. welcher Hintergedanke steckt dahinter?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei a) ist der GW a) mein Kommentar galt für b)
bei a weiss man dass [mm] |a_n-a|<1/k [/mm]
ist das ist die vorgabe.
dann kann man zeigen [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] beliebig, für alle n mit [mm] n>n_0=[1/\epsilon]+1
[/mm]
und das heißt Def, a ist GW von [mm] a_n
[/mm]
wenn du damit anfängst hast du b) direkt mit.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
die Vorgabe [mm] $|a_n-a|<\bruch{1}{k}$ [/mm] ist mir soweit klar.
Ausgehend von Deinem Kommentar hier der Beweis für die Teilaufgabe a):
[mm] $|a_n-a|<\bruch{1}{k}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{k}<\varepsilon$ $\gdw k>\bruch{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] sodass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
Zwei Punkte:
- Meine Lösung ist anscheinend falsch, denn bei Dir heißt es [mm] $n>n_0=[1/\epsilon]+1.$ [/mm] Allerdings sehe ich nicht, was ich falsch mache.
- Ich habe mich an dieser Aufgabe Link-Text orientiert.
Vielen Dank für Deine Geduld und Mühe.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
n;N sind immer natürliche Zahlen [mm] 1/\epsilon [/mm] nicht. Du kannst also schreiben [mm] N>1/\epsilon, [/mm] aber wenn du genau sein willst nimmst du die nächste ganze zahl oberhalb [mm] 1/\epsilon, [/mm] das hab ich gemacht.
ist aber nicht unbdngt nötig.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
zur Sicherheit frage ich besser konkret nach:
Ist meine Lösung dann falsch bzw. auf die Teilaufgabe a) bezogen vollständig?
In der Angabe heißt es ja [mm] $\underset{n \ge N}{\forall}.$
[/mm]
Danke
&
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schon [mm] N>1/\epsilon [/mm] schreiben, weil eben N ganz ist. sonst schreib [mm] A>1/\epsilon, [/mm] und dann n>A
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Oben hatten wir:
Mehmen wir an, es gilt
:
(*) $ [mm] \underset{k \in \IN}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{N \in \IN}{\exists} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \ge N}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] $
Du mußt zeigen: $ [mm] (a_n) [/mm] $ konv. gegen a.
Nimm also ein $ [mm] \varepsilon> [/mm] $ 0 her. Wähle nun k $ [mm] \in \IN [/mm] $ so, dass $ 1/k < [mm] \varepsilon [/mm] $ ist.
Was folgt nun aus (*) ?
nach (*) gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k} [/mm] $ für n [mm] \ge [/mm] N
Damit hat man: $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für n [mm] \ge [/mm] N
FRED
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo,
es wäre sehr nett, wenn jemand die Lösung hier zu Teilaufgabe b) korrigieren kann:
Da die Aussage aus Teilaufgabe a) genutzt werden soll, schreibe ich:
[mm] $\left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] sodass für alle $n>N$ gilt [mm] $\left| \bruch{1}{k}-0 \right|<\varepsilon.$
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 11.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob es am Anfang vielleicht nicht doch so heißen müsste:
$ [mm] \left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
Der Ausdruck [mm] $\bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}$ [/mm] ist zwar schwachsinnig, aber es heißt ja, man soll die Aussage aus Teilaufgabe a) verwenden....
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Sa 11.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann nimm halt 1/(k+1)<1/k und dein Problem ist gelöst
Gruss ledurt
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo leduart,
> dann nimm halt 1/(k+1)<1/k und dein Problem ist gelöst
meinst Du das so?
$ [mm] \left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Sollte das so stimmen, wäre ich stark verwundert, denn wie kann aus [mm] \left| \bruch{1}{k} \right|=\bruch{1}{k}$ [/mm] dann [mm] $=\bruch{1}{k+1}$ [/mm] folgen?
Wäre mein ursprünglicher Weg unten streng gemäß der Aufgabenstellung falsch?
> > $ [mm] \left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
> > $ [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] $
> > Damit für jedes beliebige $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ein $ [mm] N=\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] $ sodass für alle n > N gilt $ [mm] \left| \bruch{1}{k}-0 \right|<\varepsilon. [/mm] $
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
P.S. Sorry, dass ich die Dinge immer bis ins kleinste Detail frage, aber ich möchte nicht, dass in der Klausurvorbereitung Überraschungen auftreten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 So 12.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du b ohne Bezug auf a) machst ist dein vorgehen richtig. da du einen Bezug zu a) haben willst, sagst du 1/k konv gegen 0 weil1/(k+1)<1/k und damit die vors von A erfüllt sind.
ich finde eigentlich die Reihenfolge b zuerst, dann a) logischer und die forderung aus a) b zu folgern weit hergeholt. natürlich kann man a) mit [mm] \le1/k [/mm] beweisen und hat dann b direkt.
Gruss leduart
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo leduart,
es hapert bei mir leider noch immer an der Schreibweise, wie ich das [mm] $\bruch{1}{k+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}$ [/mm] sinnvoll "einbauen" kann...
Das hier ist mit Sicherheit falsch, aber ich sehe nicht, wie ich Deinen Tipp sonst verwenden kann:
[mm] $\left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Vielen Dank für Deine Geduld und Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu jedme k der folge existiert ein k+1
mit 1/(k+1)>1/k also konv. die folge nach a)
oder wähle statt k
für n>k 1/n<1/k konv nach a)
Gruss leduart
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| Aufgabe | [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \in \IR,$ [/mm] genau dann wenn:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{N \in \IN}{\exists}$ $\underset{n \ge N}{\forall}$ $\left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}.$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit:
[mm] $\underset{k \in \IN}{\forall}$ $\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}$ $a_{n}:=\bruch{1}{k}$
[/mm]
gegen 0 konvergiert. |
Hallo leduart,
ich schreibe es nochmals schön säuberlich auf und hoffe, dass es formal richtig ist:
[mm] $\left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Zu jedem k der Folge existiert ein $k + 1$ mit [mm] $\bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{k}$ [/mm] also konvergiert die Folge nach a) gegen 0.
Ist diese Teilaufgabe damit schon erledigt?
Was mich an dieser Aufgabe noch immer so verunsichert ist, dass wenn ich stupide in die Aussage aus Teilaufgabe a) einsetze, dann das dastehen müsste: $ [mm] \left| \bruch{1}{k}-0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{k} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k},$ [/mm] was keinen Sinn ergibt.
Falls jemand noch eine Erklärung hat, würde ich mich sehr freuen, sonst nehme ich es einfach so hin, wie es eingangs von diesem Beitrag steht (vorausgesetzt es ist richtig).
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal. Dich stört offensichtlich der Buchstabe k
verwende doch einfach n
dann hast du 1/n<1/k für alle n>k und bist damit bei a)
auf den Namen des Buchstabens kommt es doch nicht an!!
Gruss leduart
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| Aufgabe | $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ sei eine Folge reeller Zahlen.
a) Zeigen Sie: Die Folge $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ konvergiert gegen $ a [mm] \in \IR, [/mm] $ genau dann wenn:
$ [mm] \underset{k \in \IN}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{N \in \IN}{\exists} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \ge N}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] $ [mm] $\star$
[/mm]
b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die Folge $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ mit:
$ [mm] \underset{k \in \IN}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall} [/mm] $ $ [mm] a_{n}:=\bruch{1}{k} [/mm] $
gegen 0 konvergiert. |
Morgen,
ich habe gerade das Übungsblatt mit dieser Aufgabe zurückerhalten. Komischerweise habe ich auf meine Lösung zu dieser Aufgabe nur 1.5 von 5 Punkten erhalten.
Ich hatte geschrieben (rot sind die Kommentare des Korrektors):
a) [mm] $\left| a_{n}-a \right|<\bruch{1}{k}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{k}<\varepsilon \gdw [/mm] k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] Bei "genau dann wenn" muss [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] und [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] gezeigt werden!
Damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon},$ [/mm] sodass für alle $n > N$ gilt [mm] $\left| a_{n}-a \right|<\varepsilon$ [/mm] ${ [mm] \color{Red} a_{N}\not= \bruch{1}{\varepsilon} \mbox{ und } \left| a_{N}-a \right|\not\le \bruch{1}{\varepsilon}}$ [/mm]
b) [mm] $\left| \bruch{1}{k}-0 \right|=\left| \bruch{1}{k} \right|=\bruch{1}{k}<\varepsilon$ [/mm] Woher?
Zu jedem k der Folge existiert ein k+1 mit [mm] $\bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{k}$ [/mm] also konvergiert die Folge nach a) gegen 0.
Musterlösung (wirklich 1:1 übernommen!):
a) Konvergenz von [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen a impliziert die obige [mm] $\star$ [/mm] trivialer weise. Die umgekehrte Implikation bleibt also zu zeigen. Wir wollen unter der Annahme von [mm] $\star$ [/mm] zeigen:
$ [mm] \underset{\varepsilon > 0}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{N \in \IN}{\exists} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \ge N}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] $ [mm] $\star$ [/mm]
Sei dazu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0,$ dann existiert nach dem Archimedischen Prinzip ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] so dass [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] \bruch{1}{k}.$ [/mm] Nun existiert nach Annahme [mm] $\star$ [/mm] für dieses k eine N, so dass
$ [mm] \underset{n \ge N}{\forall}\left| a_{n}-a \right|<\bruch{1}{k}<\varepsilon.$ [/mm]
Womit die Aussage gezeigt ist.
b) Sei hier also $k [mm] \in \IN$ [/mm] dann beobachtet man, dass nach Definition der Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] für alle Folgenglieder mit [mm] $n>10^{k}$ [/mm] gilt [mm] $0
$ [mm] \underset{n > 10^{k}}{\forall}\left| a_{n}-0 \right|<\bruch{1}{k}$ [/mm]
Womit die Konvergenz gezeigt nach a) gezeigt ist.
Meine Frage:
- Ist es angesichts meiner Lösung berechtigt, dass ich nur 1.5 Punkte erhalten habe?
Vielen Dank für Eure Meinung und Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen $ [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ betrachtet werden mit:
$ [mm] \underset{n \in \IN }{\forall} a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}. [/mm] $
Für jedes positive $ [mm] \varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0) $ soll eine natürliche Zahl $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ angegeben werden, sodass:
$ [mm] \underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| a_{n} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] $ |
Hallo,
ich dachte, ich hätte das mit der Epsilon-Umgebung verstanden, aber scheinbar habe ich zwei Wochen vor der Klausur an einer bestimmten Stelle noch ein großes Verständnisproblem. Es ist wirklich nur eine Kleinigkeit und es wäre sehr nett, wenn jemand sich meines Problems annehmen würde.
Die obige Aufgabe ist eine frühere Aufgabe, bei der ich auf die folgende Lösung die volle Punktzahl erhalten hatte (natürlich nur durch Eure Unterstützung  ):
[mm] $\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right|=\bruch{1}{n^{2}}\le \bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw n>\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] und damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] sodass für alle n>N gilt [mm] $\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right|<\varepsilon.$
[/mm]
Warum ist dann die Zeile "Damit für jedes beliebige $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ein $ [mm] N=\bruch{1}{\varepsilon}, [/mm] $ sodass für alle $ n > N $ gilt $ [mm] \left| a_{n}-a \right|<\varepsilon [/mm] $" in meiner Lösung aus der vorherigen Frage direkt über diesem Fragenbeitrag falsch ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Leduart schrieb in einer Antwort [mm] "$\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] ist keine natürliche Zahl, deshalb [mm] $N>\bruch{1}{\varepsilon}$." [/mm] Das leuchtet ein. Die gleiche Situation liegt doch aber auch in dieser Frage hier vor und da wird [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] akzeptiert
Ich hoffe ich konnte mein Problem genau beschreiben und Ihr wisst, wo der Schuh drückt. Bei Aufgaben dieser Art kann man anscheinend nur alles richtig oder alles falsch machen. Naja ich kann von Glück reden, dass sich diese eine Schwierigkeit nicht erst in der Klausur bemerkbar gemacht hat...
Vielen Dank für Eure Unterstützung!!!!!!!!!
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 24.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht war ich zu pimmelig. Du hast ja nicht N als natürliche zahl deklariert und richtig für alle n>N geschrieben. Mein Hinweis war also zu genau.hättest du etwa [mm] A=1(\epsilon [/mm] geschrieben und dann n>A hät ich nichts eingewendet. Also kannst dus natürlich auch mit N schreiben,
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mo 24.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo leduart,
> Hallo
> vielleicht war ich zu pimmelig. Du hast ja nicht N als
> natürliche zahl deklariert und richtig für alle n>N
> geschrieben. Mein Hinweis war also zu genau.hättest du
> etwa [mm]A=1(\epsilon[/mm] geschrieben und dann n>A hät ich nichts
> eingewendet. Also kannst dus natürlich auch mit N
> schreiben,
> Gruss leduart
Dein Einwand war vollkommen berechtigt und korrekt. Ich Dödel habe aber statt $N > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] eben nur ein = dazwischen und dann noch die Abschätzung vermasselt.
Mir ist aber leider noch nicht klar, warum in einer früheren Aufgabe (Frage unmittelbar darüber) das $N = [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] im Gegensatz zu dieser Aufgabe (in der ich nur 1.5 Punkte hatte) richtig war?
Das [mm] $\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] ware ja auch in der älteren Aufgabe keine natürliche Zahl, das N hingegen schon. Dennoch war $N = [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] richtig.
Hoffe ich konnte jetzt besser zeigen wo der Schuh drückt. Es ist immer schwierig, derartige Probleme via Web zu verdeutlichen...
Danke vielmals!
Gruß
el_grecco
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> Warum ist dann die Zeile "Damit für jedes beliebige
> [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]N=\bruch{1}{\varepsilon},[/mm] sodass für alle
> [mm]n > N[/mm] gilt [mm]\left| a_{n}-a \right|<\varepsilon [/mm]" in meiner
> Lösung aus der vorherigen Frage direkt über diesem
> Fragenbeitrag falsch
>
Hallo,
ich hoffe, ich habe in meinem vorherigen Beitrag klarmachen können, daß nicht das Gleichheitszeichen bei [mm] "$N=\bruch{1}{\varepsilon}$" [/mm] das Problem ist.
[mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] N>\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] wäre genauso verkehrt gewesen:
In Deinem Beweis a) dieses Threads wäre bei der Rückrichtung darzulegen, daß es für jedes beliebige varepsilon >0 ein natürliches k gibt, so daß [mm] \bruch{1}{k}<\varepsilon. [/mm] (Hier wäre Archimedes die Begründung, aber ab einem gewissen Studienfortschritt darf man das auch kommentarlos feststellen, weil davon ausgegangen werden darf, daß die Begründung bekannt ist.)
Nun sagt Dir die Voraussetzung, daß es zu diesem k ein passendes N gibt, so daß für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt [mm] |a_n-a|\le \bruch{1}{k}.
[/mm]
Jetzt hattest Du das k raffinierterweise so bestimmt, daß [mm] \bruch{1}{k}<\varepsilon, [/mm] und damit hast Du [mm] |a_n-a|\le \bruch{1}{k}\le \varepsilon.
[/mm]
Insgesamt hast (bzw. hättest) Du nun vorgemacht, daß Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] einen passenden Schwellenwert N findest, so daß für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt [mm] |a_n-a|\le \varepsilon, [/mm] womit die Konvergenz gezeigt ist.
> Leduart schrieb in einer Antwort [mm] "$\bruch{1}{\varepsilon}$
[/mm]
> ist keine natürliche Zahl, deshalb
> [mm] $N>\bruch{1}{\varepsilon}$." [/mm] Das leuchtet ein. Die gleiche
> Situation liegt doch aber auch in dieser Frage hier vor und
> da wird [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] akzeptiert
Es könnte daran liegen, daß ein wenig schlampig/wohlwollend/schnell korrigiert wurde, vielleicht sah in den Augen des Korrektors Dein = aus wie ein < oder was weiß ich.
Fest steht, daß die von Dir geforderte natürliche Zahl N in Deinem Beweis hier i.a. keine sein wird.
Wenn Du aber schreibst: sei N nun eine natürliche Zahl mit [mm] N\ge \bruch{1}{\varepsilon}, [/mm] dann ist alles in Butter.
Ich würde jetzt mal zielstrebig vorgehen: Du machst es in Zukunft immer exakt und bist hinfort nicht mehr auf das Wohlwollen/die Eile Deiner Korrektoren angewiesen.
Schau doch mal in der Musterlösung, wie es dort formuliert wurde.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Di 25.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Angela,
> Hallo,
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> ich hoffe, ich habe in meinem vorherigen Beitrag klarmachen
> können, daß nicht das Gleichheitszeichen bei
> "[mm]N=\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]" das Problem ist.
> [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] wäre genauso
> verkehrt gewesen:
genau das ist der entscheidende Satz, der bei mir zum "Klick" geführt hat. Die aktuellere und ältere Aufgabe sind trotz ihrer Ähnlichkeit in Wahrheit doch sehr unterschiedlich, bedingt durch die zusätzliche Variable "k" in der neueren Aufgabe. Ich habe mich natürlich ins Bockshorn jagen lassen und war bis zuletzt davon überzeugt, ich könnte das "Schema" der alten Aufgabe 1:1 auf die neue Aufgabe anwenden. Ich dachte wirklich bis zuletzt, es lag daran, dass ich nicht $ [mm] N>\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] $ geschrieben hatte.
> In Deinem Beweis a) dieses Threads wäre bei der
> Rückrichtung darzulegen, daß es für jedes beliebige
> varepsilon >0 ein natürliches k gibt, so daß
> [mm]\bruch{1}{k}<\varepsilon.[/mm] (Hier wäre Archimedes die
> Begründung, aber ab einem gewissen Studienfortschritt darf
> man das auch kommentarlos feststellen, weil davon
> ausgegangen werden darf, daß die Begründung bekannt
> ist.)
>
> Nun sagt Dir die Voraussetzung, daß es zu diesem k ein
> passendes N gibt, so daß für alle [mm]n\ge[/mm] N gilt [mm]|a_n-a|\le \bruch{1}{k}.[/mm]
>
> Jetzt hattest Du das k raffinierterweise so bestimmt, daß
> [mm]\bruch{1}{k}<\varepsilon,[/mm] und damit hast Du [mm]|a_n-a|\le \bruch{1}{k}\le \varepsilon.[/mm]
>
> Insgesamt hast (bzw. hättest) Du nun vorgemacht, daß Du
> zu vorgegebenem [mm]\varepsilon[/mm] einen passenden Schwellenwert N
> findest, so daß für alle [mm]n\ge[/mm] N gilt [mm]|a_n-a|\le \varepsilon,[/mm]
> womit die Konvergenz gezeigt ist.
>
>
> > Leduart schrieb in einer Antwort "[mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> > ist keine natürliche Zahl, deshalb
> > [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]." Das leuchtet ein. Die
> gleiche
> > Situation liegt doch aber auch in dieser Frage hier vor
> und
> > da wird [mm]N=\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] akzeptiert
>
> Es könnte daran liegen, daß ein wenig
> schlampig/wohlwollend/schnell korrigiert wurde, vielleicht
> sah in den Augen des Korrektors Dein = aus wie ein < oder
> was weiß ich.
>
> Fest steht, daß die von Dir geforderte natürliche Zahl N
> in Deinem Beweis hier i.a. keine sein wird.
> Wenn Du aber schreibst: sei N nun eine natürliche Zahl
> mit [mm]N\ge \bruch{1}{\varepsilon},[/mm] dann ist alles in Butter.
> Ich würde jetzt mal zielstrebig vorgehen: Du machst es in
> Zukunft immer exakt und bist hinfort nicht mehr auf das
> Wohlwollen/die Eile Deiner Korrektoren angewiesen.
> Schau doch mal in der Musterlösung, wie es dort
> formuliert wurde.
Jetzt wo ich weiß, worauf ich achten muss, sollten derartige Aufgaben kein Hindernis mehr sein. Es gibt mit Sicherheit noch fiesere Fallen, aber ich glaube nicht, dass in der Klausur solche Aufgaben verwendet werden.
Angela, ich möchte mich an dieser Stelle von ganzem Herzen bei Dir bedanken, dafür dass Du Dir die Zeit genommen hast, Dich in diesen Thread einzulesen und mir mit Deinen beiden - hinsichtlich meiner Probleme den Nagel perfekt auf den Kopf getroffenen - Antworten so mächtig aus der Patsche geholfen hast.
> Gruß v. Angela
Viele Grüße!
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 24.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast bei deinem Aufschrieb nicht klar gemacht, dass man bede Richtungen zeigen muss: in der musterlösung ist das mit Richtung aus Konvergenz folgt * ist trivial erledigt, aner eben auch gesagt. die andere Richtung aus * folgt [mm] \epsilon [/mm] Konvergenz hast du zu knapp gefasst, das arch. axiom muss hier zitiert werden un [mm] \epsilon>1/k [/mm] zu zeigen bzw. angeben zu können.
der Hauptfehler ist , dass du nicht deutlich hin und zurück gezeigt hast.
Allerdings ist der Aufgabenteil nach meiner meinung noch mindestens halb richtig. aber b) ist ganz falsch!
du hast das behandelt als wäre [mm] a_n=1/n [/mm] und nicht die def von [mm] a_n [/mm] beachtet.
$ [mm] \underset{k \in \IN}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall} [/mm] $ $ [mm] a_{n}:=\bruch{1}{k} [/mm] $
die sagt doch fur alle n zwischen [mm] n=10^{10} [/mm] und [mm] n=10^{11} [/mm] ist [mm] a_n=1/11
[/mm]
die folge wird also viel viel langsamer klein als 1/n
deshalb die wenigen Punkte, b) ist völlig falsch.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mo 24.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo leduart,
> Hallo
> Du hast bei deinem Aufschrieb nicht klar gemacht, dass man
> bede Richtungen zeigen muss: in der musterlösung ist das
> mit Richtung aus Konvergenz folgt * ist trivial erledigt,
> aner eben auch gesagt. die andere Richtung aus * folgt
> [mm]\epsilon[/mm] Konvergenz hast du zu knapp gefasst, das arch.
> axiom muss hier zitiert werden un [mm]\epsilon>1/k[/mm] zu zeigen
> bzw. angeben zu können.
dass ich nur eine Richtung gezeigt habe, war anscheinend wirklich das große Problem. Ich glaube aber nicht, dass das Archimedische Axiom obligatorisch war, denn bei früheren Aufgaben zur Epsilon-Umgebung hatte ich immer die volle Punktzahl, obwohl ich das Archimedische Axiom nicht erwähnt hatte, die Musterlösung aber darauf aufgebaut hat.
So wie ich das inzwischen anhand der Korrektur sehe, wäre dieser Satz am Ende richtig gewesen:
"Damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N>\bruch{1}{\varepsilon},$ [/mm] sodass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $\left| a_{n}-a \right|<\bruch{1}{k}$."
[/mm]
Du und Fred hattet diesen entscheidenden letzten Satz in Euren Antworten vollkommen richtig, aber ich habe aus welchen Gründen auch immer unbewusst diese kleinen Fehler mit dem ">" und der Abschätzung eingebaut und es nicht gemerkt.
> der Hauptfehler ist , dass du nicht deutlich hin und
> zurück gezeigt hast.
> Allerdings ist der Aufgabenteil nach meiner meinung noch
> mindestens halb richtig. aber b) ist ganz falsch!
Laut Korrektur habe ich auf die a) 0 Punkte und auf die b) 1.5 Punkte bekommen. Der einzige Fehler bei der b) besteht anscheinend darin, dass ich nicht gesagt habe "gemäß a) darf ich das schreiben...".
> du hast das behandelt als wäre [mm]a_n=1/n[/mm] und nicht die def
> von [mm]a_n[/mm] beachtet.
> [mm]\underset{k \in \IN}{\forall}[/mm] [mm]\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}[/mm]
> [mm]a_{n}:=\bruch{1}{k}[/mm]
> die sagt doch fur alle n zwischen [mm]n=10^{10}[/mm] und [mm]n=10^{11}[/mm]
> ist [mm]a_n=1/11[/mm]
> die folge wird also viel viel langsamer klein als 1/n
> deshalb die wenigen Punkte, b) ist völlig falsch.
> gruss leduart
Naja insgesamt ist es schade, dass ich bei dieser Aufgabe 3.5 Punkte verloren habe, denn auf die Übungen gibt es Bonuspunkte für die Klausur und das könnten genau die Punkte sein, die mir womöglich zum Bestehen der Klausur fehlen könnten.
Warum es in dieser Aufgabe $N > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] heißen muss, ist mir klar, denn Du hattest ja den Grund hierfür genannt [mm] ($\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] ist im Gegensatz zu N keine natürliche Zahl). Warum aber in einer früheren, ähnlichen Aufgabe (untere Frage in diesem Threadbaum) $N = [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] richtig ist, ist mir leider noch immer nicht klar.
Ich schreibe deshalb noch eine Mitteilung unten.
Danke Dir.
Gruß
el_grecco
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> [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] sei eine Folge reeller Zahlen.
>
> a) Zeigen Sie: Die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergiert
> gegen [mm]a \in \IR,[/mm] genau dann wenn:
>
> [mm]\underset{k \in \IN}{\forall}[/mm] [mm]\underset{N \in \IN}{\exists}[/mm]
> [mm]\underset{n \ge N}{\forall}[/mm] [mm]\left| a_{n}-a \right| < \bruch{1}{k}.[/mm]
> [mm]\star[/mm]
>
> b) Nutzen Sie die obige Aussage, um zu zeigen, dass die
> Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit:
>
> [mm]\underset{k \in \IN}{\forall}[/mm] [mm]\underset{n \in \IN : 10^{k-1} \le n < 10^{k}}{\forall}[/mm]
> [mm]a_{n}:=\bruch{1}{k}[/mm]
>
> gegen 0 konvergiert.
>
> Morgen,
>
> ich habe gerade das Übungsblatt mit dieser Aufgabe
> zurückerhalten. Komischerweise habe ich auf meine Lösung
> zu dieser Aufgabe nur 1.5 von 5 Punkten erhalten.
>
> Ich hatte geschrieben (rot sind die Kommentare des
> Korrektors):
>
> a) [mm]\left| a_{n}-a \right|<\bruch{1}{k}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{k}<\varepsilon \gdw k > \bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> Bei "genau dann wenn" muss "[mm]\Rightarrow[/mm]" und "[mm]\Leftarrow[/mm]"
> gezeigt werden!
>
> Damit für jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm] ein
> [mm]N=\bruch{1}{\varepsilon},[/mm] sodass für alle [mm]n > N[/mm] gilt
> [mm]\left| a_{n}-a \right|<\varepsilon[/mm] [mm]{ \color{Red} a_{N}\not= \bruch{1}{\varepsilon} \mbox{ und } \left| a_{N}-a \right|\not\le \bruch{1}{\varepsilon}}[/mm]
>
> b) [mm]\left| \bruch{1}{k}-0 \right|=\left| \bruch{1}{k} \right|=\bruch{1}{k}<\varepsilon[/mm]
> Woher?
>
> Zu jedem k der Folge existiert ein k+1 mit
> [mm]\bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{k}[/mm] also konvergiert die Folge nach
> a) gegen 0.
>
>
> Musterlösung (wirklich 1:1 übernommen!):
>
> a) Konvergenz von [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] gegen a impliziert
> die obige [mm]\star[/mm] trivialer weise. Die umgekehrte Implikation
> bleibt also zu zeigen. Wir wollen unter der Annahme von
> [mm]\star[/mm] zeigen:
>
> [mm]\underset{\varepsilon > 0}{\forall}[/mm] [mm]\underset{N \in \IN}{\exists}[/mm]
> [mm]\underset{n \ge N}{\forall}[/mm] [mm]\left| a_{n}-a \right| < \varepsilon.[/mm]
> [mm]\star[/mm]
>
> Sei dazu [mm]\varepsilon > 0,[/mm] dann existiert nach dem
> Archimedischen Prinzip ein [mm]k \in \IN[/mm] so dass [mm]\varepsilon > \bruch{1}{k}.[/mm]
> Nun existiert nach Annahme [mm]\star[/mm] für dieses k eine N, so
> dass
>
> [mm]\underset{n \ge N}{\forall}\left| a_{n}-a \right|<\bruch{1}{k}<\varepsilon.[/mm]
>
> Womit die Aussage gezeigt ist.
>
> b) Sei hier also [mm]k \in \IN[/mm] dann beobachtet man, dass nach
> Definition der Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] für alle
> Folgenglieder mit [mm]n>10^{k}[/mm] gilt [mm]0
>
> [mm]\underset{n > 10^{k}}{\forall}\left| a_{n}-0 \right|<\bruch{1}{k}[/mm]
>
> Womit die Konvergenz gezeigt nach a) gezeigt ist.
>
>
> Meine Frage:
> - Ist es angesichts meiner Lösung berechtigt, dass ich
> nur 1.5 Punkte erhalten habe?
Hallo,
ich finde die 1.5 Punkte nicht knauserig...
Du hängst Dich im Moment zur sehr am Archimedischen Axion auf, das ist ja nicht das einzige oder gar das Hauptproblem.
Ich bin mir fast sicher, daß man ohne ausdrückliche Erwähnung des Archimedes auch die volle Punktzahl hätte bekommen können.
Du wirfst im Beweis wie Bauklötzchen Halbwahrheiten oder sogar Wahrheiten nebeneinander, der passende Turm wird aber nicht gebaut.
Am Ende guckt man ratlos auf ein Klötzchenfeld, und der stolze Baumeister strahlt und ruft: "Seht meinen schönen Turm!". Betretenes Schweigen. Ah ja. Ein Turm.
Bei kleinen Kindern mobilisiert jetzt man seine Fantasie, oder man bricht in routinemäßige Begeisterungsstürme aus, oder man stellt eine pädagogische Frage zum besseren Verständnis.
(Nicht traurig sein! Manche Trümmerfelder sind ja auch hochinteressant, wenn man ein Faible dafür hat. Z.B. das forum romanum...)
Wie soll ein Beweis sein?
Ein Beweis soll so sein, daß man ihn flüssig lesen kann und er, sofern man die nötigen Kenntnisse hat, selbsterklärend und überzeugend ist.
Es gehört dazu, daß der Leser erkennt, was Voraussetzung ist und was gezeigt werden soll. Das gelingt nur, wenn der Autor es auch weiß...
Bevor Du irgendwas beweist, mußt Du Dir immer klarmachen, was die Voraussetzungen sind, unter denen Du beweisen wirst.
Danach: was will ich zeigen? Was muß ich dafür tun?
Es ist gut, dies aufzuschreiben. Es schafft nicht nur für den Leser Klarheit, sondern auch für einen selbst.
Die sinnvolle Verwendung von Bausteinen wie "es sei", "dann gibt es ein", "man nehme" u.ä. ist kein Fehler. Sie ist sogar erforderlich.
Kein Fehler ist es auch, vollständige Sätze zu schreiben.
Bei sowas:
> "Damit für jedes beliebige $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ein $ [mm] N=\bruch{1}{\varepsilon}, [/mm] $"
denke ich erstmal: "Hä?".
Überhaupt sind ein paar Worte im Beweis angenehm. Du mußt nicht künstlich verknappen, um wissenschaftlich rüberzukommen. Da fällt eh niemand drauf rein.
So, das war jetzt mehr oder weniger allgemein gesprochen, kommen wir mal zu Deinem Beweis.
Es gibt dort einige Probleme.
Ganz wesentlich ist, was schon gesagt wurde, daß Du nämlich nicht erkennst oder kenntlich machst, daß es Dir klar ist, daß bei a) zwei Beweise zu führen sind, nämlich die beiden Richtungen.
Es lohnt sich übrigens bei zu zeigenden Äquivalenzen oftmals, die Beweise zunächst getrennt in beide Richtungen auszuführen.
Falls man dann merkt, daß die Argumentation wirklich exakt umgedreht werden kann, kann man sie in der Reinschrift immer noch zu einem Äquivalenzbeweis "aus einem Guß" zusammenführen.
Es wird in Deiner Musterlösung gesagt, daß die Richtung "==>" trivial ist.
Trotzdem könntest Du ja mal zur Übung diese Richtung machen - schon, um später den Unterschied zur anderen Richtung zu sehen.
(Was für die Chefs trivial ist, ist es für den Durchschnittstudenten ja noch lange nicht.)
An Indizien erahne ich, daß Du die Rückrichtung des Beweises führen möchtest.
Dazu mußt Du ja zeigen, daß "für jedes [mm] \varepsilon>0" [/mm] die bekannte Aussage gilt.
Sinnigerweise würde man also im Beweis starten mit
"Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0".
Du formulierst es so: "jedes beliebige [mm] \varepsilon" [/mm] - das ist auch i.O.
Nun kommt die große Panne: Du hattest zuvor, ohne zu sagen warum und weshalb, mal ein bißchen mit k und [mm] \varepsilon [/mm] rumgewurschtelt. ("$ [mm] \bruch{1}{k}<\varepsilon \gdw [/mm] k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] $ ")
Und plötzlich sagst Du irgendwas von einem N, welches [mm] =\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] ist.
Man fragt sich: ist jetzt N=k oder wie oder was?
Schau Dir nochmal die Aussage an:
> $ [mm] \underset{k \in \IN}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \underset{N \in \IN}{\exists} [/mm] $ $ [mm] \underset{n \ge N}{\forall} [/mm] $ $ [mm] \left| a_{n}-a \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] $
Das k und das N sind zwei völlig verschiedene Dinge.
Man hat hier ein k, dessen Kehrwert den Abstand von Folgenglied zum Grenzwert beschränkt.
Das N ist dann ein zu diesem k passender Schwellenwert, die Grenze, ab derer die Folgenglieder [mm] a_n [/mm] den geforderten Abstand zum Grenzwert einhalten.
Daß Du dies nicht erkannt hast, ist der große Fehler der von Dir gezeigten Richtung. (Archimedes ist eine Erdnuß dagegen.)
Am Ende
> für alle $ n > N $ gilt $ [mm] \left| a_{n}-a \right|<\varepsilon [/mm] $
kommt auch gar nicht irgendwie das k vor, und man fragt sich, mit welchem Recht Du [mm] "\le \varepsilon" [/mm] schreibst.
Noch kurz zu b)
>Zu jedem k der Folge existiert ein k+1 mit $ [mm] \bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{k} [/mm] $
> also konvergiert die Folge nach a) gegen 0.
Ich frage mich: was ist mit "jedem k der Folge gemeint"?
Was hat die Tatsache, daß $ [mm] \bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{k} [/mm] $ mit der Folge bzw. deren Konvergenz zu tun?
Das ist überhaupt nicht herausgearbeitet.
Ich erkenne nicht, welches Konvergenzkriterium Du zu verwenden gedenkst.
Nicht traurig sein! Man kann das alles lernen! Und niemand erwartet, daß Du es perfekt machst.
Stell Dir bei Deinem nächsten Beweis mal vor, daß Du eine mathematisch interessierte Person, die aber nicht dieselbe Vorlesung besucht, von Deiner Argumentation überzeugen willst. Bei jedem halben Satz fragt sie "Warum denn eigentlich?". Du mußt eine Begründung parat haben.
Gruß v. Angela
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