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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die durch
[mm]a_n = (1 + \bruch{1}{2}) * (1 + \bruch{1}{4}) * ... *(1 + \bruch{1}{2^n}) [/mm] definierte Folge konvergiert. |
Hallo Leute,
ich hab Probleme bei der obigen Aufgabe. Meine Idee war monoton wachsend und beschränkt zu zeigen. Monoton wachsen hab ich hinbekommen. Aber Bescränkheit bekomme ich nicht hin. Vermutete oberer Grenzwert ist 3. Kann mir Jemand helfen.
Liebe Grüße,
Philipp.
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Hallo Philipp,
> Zeigen Sie, dass die durch
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> [mm]a_n = (1 + \bruch{1}{2}) * (1 + \bruch{1}{4}) * ... *(1 + \bruch{1}{2^n})[/mm]
> definierte Folge konvergiert.
> Hallo Leute,
>
> ich hab Probleme bei der obigen Aufgabe. Meine Idee war
> monoton wachsend und beschränkt zu zeigen. Monoton wachsen
> hab ich hinbekommen. Aber Bescränkheit bekomme ich nicht
> hin. Vermutete oberer Grenzwert ist 3. Kann mir Jemand
> helfen.
Vllt. stehe ich ja gerade auf einem riesigen Schlauch, aber wenn ich mir die Folge so anschaue, so ist doch der letze Faktor [mm] $\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$ [/mm] der kleinste von allen Faktoren.
Also [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot{} [/mm] .... [mm] \cdot{}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\ge n\cdot{}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$ [/mm]
Und das strebt schon für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$, [/mm] also [mm] $a_n$, [/mm] das größer ist, erst recht ...
> Liebe Grüße,
>
> Philipp.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Nice28734 |
Hi,
Keine Ahnung, ob du aufm Schlauch stehst, aber:
> Vllt. stehe ich ja gerade auf einem riesigen Schlauch, aber
> wenn ich mir die Folge so anschaue, so ist doch der letze
> Faktor [mm]\left(1+\frac{1}{2^n}\right)[/mm] der kleinste von allen
> Faktoren.
>
> Also
> [mm]a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot{} .... \cdot{}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\ge n\cdot{}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)[/mm]
stimmt meiner Meinung nach nicht, denn es ist
[mm]a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot{} .... \cdot{}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\ge {}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)^n[/mm]
und das strebt gegen 1.
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Hallo nochmal,
ja, definitiv ein Riesenschlauch.
Ich kann + und [mm] \cdot{} [/mm] nicht auseinander halten ...
Meine Güte, tut mir leid ...
Ich denke nun aber um so schärfer nach 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Philipp!
Konkret nach dem Grenzwert ist ja scheinbar nicht gefragt.
Zeige, dass diese Folge sowohl monoton als auch beschränkt ist. Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz der Folge.
Gruß
Loddar
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> Hallo Philipp!
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> Konkret nach dem Grenzwert ist ja scheinbar nicht gefragt.
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> Zeige, dass diese Folge sowohl monoton als auch beschränkt
> ist. Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz der
> Folge.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
>
s.o. Frage war:
Hallo Leute,
ich hab Probleme bei der obigen Aufgabe. Meine Idee war monoton wachsend und beschränkt zu zeigen. Monoton wachsen hab ich hinbekommen. Aber Bescränkheit bekomme ich nicht hin. Vermutete oberer Grenzwert ist 3. Kann mir Jemand helfen.
Liebe Grüße,
Philipp.
und mein Problem nach wie vor, dass ich beschränktheit nicht zeigen kann.
liebe Grüße,
Philipp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phlipp!
Verwende folgende Abschätzung:
[mm] $$1+\bruch{1}{2^n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 1+\bruch{1}{n}$$
[/mm]
Und was weißt Du über die Folge [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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