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Konvergenz zeigen: Epsilon-Beweis Probleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 So 23.11.2008
Autor: Lucky-Luke

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (\wurzel{n^{2}+n}-n) [/mm]
konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Hinweis: [mm] (\wurzel{n^{2}+n}-n) [/mm] * [mm] (\wurzel{n^{2}+n}+n)= [/mm] n

Hallo zusammen,

ok also meine Gedanken zu dieser Aufgabe.

Ich weiß, dass die Folge gegen 0,5 konvergiert.

Damit gilt:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. [mm] \exists N\in \IN, [/mm] so dass für alle n>N glit:
[mm] |(\wurzel{n^{2}+n}-n)- [/mm] 0,5|< [mm] \varepsilon [/mm]

Normalerweise gehe ich nun in einer Nebenrechnung so vor, dass ich [mm] N(\varepsilon) [/mm] finde.

Ich beginne mit

[mm] |(\wurzel{n^{2}+n}-n)-0,5| [/mm]

nach dem Hinweis gilt:

= [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}- [/mm] 0,5|

= [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+n}- [/mm] 0,5|

< [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n}+n}- [/mm] 0,5|

= [mm] |\bruch{n}{n+n}- [/mm] 0,5|

= [mm] |\bruch{n}{2*n}- [/mm] 0,5|

= |0,5- 0,5|

= 0  

okay ich weiß das ich irgendwas grundlegend und grob falsch mache. :D

Denn eigentlich sollte ja sowas wie [mm] N=...\varepsilon [/mm]

rauskommen, wodurch die Abschätzung nach oben

[mm] (a_{n}) \le (a_{N}) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ergeben sollte oder?

Brauche also dringend Hilfe für die Aufgabe aber auch für das Verständnis von [mm] \varepsilon-Beweisen [/mm] bzgl. der Grenzwerte von Folgen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gruß
Lucky-Luke


        
Bezug
Konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Lucky Luke,

> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](\wurzel{n^{2}+n}-n)[/mm]
>  konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
>  
> Hinweis: [mm](\wurzel{n^{2}+n}-n)[/mm] * [mm](\wurzel{n^{2}+n}+n)=[/mm] n
>  Hallo zusammen,
>  
> ok also meine Gedanken zu dieser Aufgabe.
>  
> Ich weiß, dass die Folge gegen 0,5 konvergiert. [ok]
>  
> Damit gilt:
>  
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. [mm]\exists N\in \IN,[/mm] so dass für alle n>N
> glit:
>  [mm]|(\wurzel{n^{2}+n}-n)-[/mm] 0,5|< [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Normalerweise gehe ich nun in einer Nebenrechnung so vor,
> dass ich [mm]N(\varepsilon)[/mm] finde.
>  
> Ich beginne mit
>  
> [mm]|(\wurzel{n^{2}+n}-n)-0,5|[/mm]
>  
> nach dem Hinweis gilt:
>  
> = [mm]|\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}-[/mm] 0,5|
>  
> = [mm]|\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+n}-[/mm] 0,5|

> < [mm]|\bruch{n}{\wurzel{n}*\wurzel{n}+n}-[/mm] 0,5|
>  
> = [mm]|\bruch{n}{n+n}-[/mm] 0,5|
>  
> = [mm]|\bruch{n}{2*n}-[/mm] 0,5|
>  
> = |0,5- 0,5|
>  
> = 0  
>
> okay ich weiß das ich irgendwas grundlegend und grob falsch
> mache. :D
>  
> Denn eigentlich sollte ja sowas wie [mm]N=...\varepsilon[/mm]
>  
> rauskommen, wodurch die Abschätzung nach oben
>
> [mm](a_{n}) \le (a_{N})[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ergeben sollte oder?
>  
> Brauche also dringend Hilfe für die Aufgabe aber auch für
> das Verständnis von [mm]\varepsilon-Beweisen[/mm] bzgl. der
> Grenzwerte von Folgen.

Mit [mm] $\varepsilon, N(\varepsilon)$ [/mm] ist das doch sehr frickelig, mit dem Tipp würde ich das mit den Grenzwertsätzen machen, dann hast du nach dem Erweitern

[mm] $a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}+n}=\frac{n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$ [/mm]

Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{1+0+1}=\frac{1}{2}$ [/mm]

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Gruß
>  Lucky-Luke
>  


LG

schachuzipus

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