Konvergenz von zahlenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Do 31.10.2013 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | Die reele Zahlenfolge x1, x2, ..... erfülle folgende Bedigung: [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_{n+1}-x_{n}|<1 [/mm] für alle n element [mm] \IN [/mm] .
Beweisen sie dir Konvergenz dieser ZF x1, x2,....
Hinweis:Untersuche die ZF [mm] y_{n} [/mm] definiert mit [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_{n+1}-x_{n}|<1 [/mm] für alle n element [mm] \IN [/mm] auf konvergenz und zeige das die ZF x1, x2,.... eine Cauchy folge ist. |
wie kann ich beweisen das dies eine Cauchy folge ist? Ich werde aus der definition nicht schlau.Wie zeige ich das [mm] |x_{n+1}-x_{n}|<(epsilon) [/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 31.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Die reele Zahlenfolge x1, x2, ..... erfülle folgende
> Bedigung: [mm]\summe_{i=1}^{n}|x_{n+1}-x_{n}|<1[/mm] für alle n
> element [mm]\IN[/mm] .
> Beweisen sie dir Konvergenz dieser ZF x1, x2,....
>
> Hinweis:Untersuche die ZF [mm]y_{n}[/mm] definiert mit
> [mm]\summe_{i=1}^{n}|x_{n+1}-x_{n}|<1[/mm] für alle n element [mm]\IN[/mm]
> auf konvergenz und zeige das die ZF x1, x2,.... eine Cauchy
> folge ist.
> wie kann ich beweisen das dies eine Cauchy folge ist? Ich
> werde aus der definition nicht schlau.Wie zeige ich das
> [mm]|x_{n+1}-x_{n}|<(epsilon)[/mm] ist?
Hallo,
Da die Summe aus unendlich vielen (nichtnegativen) Beträgen kleiner als 1 ist, kann es nur endlich viele Beträge dieser Form geben, die größer als Epsilon sind. Diese Anzahl kann maximal (1/Epsilon) sein.
Unter diesen endlich vielen Beträgen (mit der Eigenschaft, "groß" zu sein) gibt es einen allerletzen. Alle nachfolgenden Beträge sind dann kleiner als Epsilon.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Fr 01.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die reele Zahlenfolge x1, x2, ..... erfülle folgende
> Bedigung: [mm]\summe_{i=1}^{n}|x_{n+1}-x_{n}|<1[/mm] für alle n
> element [mm]\IN[/mm] .
Das soll wohl lauten: [mm]\summe_{i=1}^{n}|x_{i+1}-x_{i}|<1[/mm]
> Beweisen sie dir Konvergenz dieser ZF x1, x2,....
>
> Hinweis:Untersuche die ZF [mm]y_{n}[/mm] definiert mit
> [mm]\summe_{i=1}^{n}|x_{n+1}-x_{n}|<1[/mm] für alle n element [mm]\IN[/mm]
Also: [mm]y_n:=\summe_{i=1}^{n}|x_{i+1}-x_{i}|<1[/mm]
> auf konvergenz und zeige das die ZF x1, x2,.... eine Cauchy
> folge ist.
> wie kann ich beweisen das dies eine Cauchy folge ist? Ich
> werde aus der definition nicht schlau.Wie zeige ich das
> [mm]|x_{n+1}-x_{n}|<(epsilon)[/mm] ist?
Nach Vor. haben wir: 0 [mm] \le y_n<1 [/mm] für alle n.
Weiter ist [mm] (y_n) [/mm] wachsend.
Nach dem Monotoniekriterium ist [mm] (y_n) [/mm] also konvergent.
Sei nun n [mm] \in \IN:
[/mm]
Dann: [mm] |x_{n+2}-x_n|=|x_{n+2}-x_{n+1}+x_{n+1}-x_{n}| \le |x_{n+2}-x_{n+1}|+|x_{n+1}-x_{n}|=y_{n+1}-y_{n-1}.
[/mm]
Zeige nun induktiv:
[mm] |x_{n+k}-x_n| \le y_{n+k-1}-y_{n-1} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 2.
Siehst Du nun, dass [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist ?
FRED
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