Konvergenz von einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] konvergent ist. |
So, ich habe versucht, die Reihe mithilfe des Quotientenkriteriums zu lösen und bekomme da aber 1 heraus, was ja bedeuten würde, dass die Reihe divergiert.Tut sie aber nicht.
Ich frage euch, ob man diese Reihe mit dem Quotientenkriterium lösen kann.
Dann kann man ja sagen, dass es in der Reihe einmal die harmonische Reihe auftritt(1/n) und auch die geometrische [mm] Reihe(q^n). [/mm] Dass heißt, wie kann man hier argumentieren bzw. ist das überhaupt richtig?
Hab irgendwie noch Probleme mit Reihen und Konvergenz.
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn 1 herauskommt, muss die Reihe nicht unbedingt divergieren (wie du ja auch hier siehst!).
Guck dir mal das Leibniz-Kriterium stattdessen an.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Ok, das Leipnizkriterium hatten wir auch schon, doch das besagt, dass der Limes von an gleich 0 ist, aber hier in dem Fall ist an die harmonische Reihe, dass heißt divergent.
Wo ist mein Denkfehler?
Und bitte noch die Frage beantworten:Kann man diese Reihe mit dem Quotientenkriterium lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Mit dem Quotientenkriterium kommst du hier nicht weit. Hast ja gesehen, dass 1 rauskommt!
Und das Leibniz-Kriteriumbesagt, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^ia_i [/mm] konvergiert, wenn [mm] a_i [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Hier ist [mm] a_i=\bruch{1}{i}.
[/mm]
Das [mm] (-1)^i [/mm] hilft dir hier also sogar das Leibniz-Kriterium anwenden zu können.
Du musst nur noch zeigen, dass [mm] a_i [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Teufel
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So,bei dieser Reihe ist doch ai 1/n und das ist keine Nullfolge, auch keine monoton fallende, weil eine Nullfolge ja gegen 0 geht. Ich versteh es einfach nicht.
Kannst du oder einer anderer mir das erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Wieso ist denn [mm] a_i=\bruch{1}{i} [/mm] keine Nullfolge? Für $i [mm] \to \infty$ [/mm] wird der Nenner doch immer größer und der Bruch geht gegen 0!
Und monoton fallend ist sie auch. Dazu musst du nur zeigen, dass
[mm] a_{i+1}
Teufel
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Jetzt hat es ein wenig Klick gemacht. Ich hatte Nullfolge und Konvergenz/Divergenz vertauscht bzw. verwechselt. Wenn eine Reihe eine Nullfolge ist, ist das nur ein notwendiges Kriterium für Konvergenz, aber das heißt nicht, dass jedeNullfolge konvergent ist.
Naja, zurück zur Aufgabe:Ok, jetzt noch die Monotonie beweisen.
Soll ich jetzt für i auf der linken Seite i1 einsetzen und auf der rechten Seite i2? Dann bekomme ich i2<i1+1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
> Jetzt hat es ein wenig Klick gemacht. Ich hatte Nullfolge
> und Konvergenz/Divergenz vertauscht bzw. verwechselt. Wenn
> eine Reihe eine Nullfolge ist, ist das nur ein notwendiges
> Kriterium für Konvergenz, aber das heißt nicht, dass
> jedeNullfolge konvergent ist.
>
Genau!
> Naja, zurück zur Aufgabe:Ok, jetzt noch die Monotonie
> beweisen.
> Soll ich jetzt für i auf der linken Seite i1 einsetzen
> und auf der rechten Seite i2? Dann bekomme ich i2<i1+1.
Nein. Aber die Lösung ist vielleicht einfacher, also du denkst.
Du musst zeigen: [mm] \bruch{1}{i+1}<\bruch{1}{i}.
[/mm]
Multipliziere einfach mal mit i und mit i+1. Dann hast du: i<i+1, was ja offensichtlich stimmt (oder du ziehst noch i auf beiden Seiten ab und erhältst 0<1). Daher ist [mm] \bruch{1}{i+1}<\bruch{1}{i} [/mm] auch wahr und damit ist die Folge monoton fallend.
Teufel
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Vielen Dank für deine Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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