Konvergenz von e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
(b) Für alle k [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{k}{n})^n [/mm] = [mm] e^k [/mm] |
Hi,
kann mir vieleicht jemand einen Ansatz liefern, denn ich verstehe nicht wie man die Ausdrücke großartig vereinfachen soll, um dann die konvergenz zu zeigen.
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin Smex!
Betrachte doch einfach:
$\lim_{n\to\infty}(a_{n+1})=\lim_n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{(1+\frac{1}{n})}\right)^{n+1}$
mFg Sashman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Smex!
Du darfst doch sicher den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ e$ verwenden?
Dann setze bei Aufgabe b.) mal $m \ := \ [mm] \bruch{n}{k}$ [/mm] und Du erhältst:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{k}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{\bruch{n}{k}}\right)^{k*\bruch{n}{k}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{m}\right)^{k*m} [/mm] \ = \ \ [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\left[\left(1+\bruch{1}{m}\right)^{m}\right]^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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