Konvergenz von Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:15 So 09.01.2011 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Sei [mm] U_1, U_2,... [/mm] eine Folge von i.i.d. Zufallsvariablen, jede gleichmäßig zwischen 0 und 1 verteilt. Sei [mm] X_n:=min\{U_1,...,U_n\}, Y_n:=max\{U_1,...,U_n\}.
[/mm]
(1) Zeige, dass [mm] X_n [/mm] für alle r [mm] \ge [/mm] 1 im r-ten Mittel gegen 0 konvergiert.
(2) Zeige, dass [mm] X_n [/mm] fast sicher gegen 0 konvergiert.
(3) Bestimme den bedingten Erwartungswert [mm] E[log(1/X_n) [/mm] | [mm] log(1/Y_n)] [/mm] und zeige, dass er gegen Unendlich konvergiert (in welchem Sinn?) |
Hallo,
Ich bereite mich gerade auf meine Klausur in Stochastik vor. Das ist eine alte Klausuraufgabe, aber leider kann ich sie nicht lösen.
Hier die Gedanken, die ich mir dazu gemacht habe:
(1) Konvergenz im r-ten Mittel bedeuted, dass [mm] E[|X_n|^r] \to [/mm] 0.
Ich habe mir gedacht, dass für den Erwartungswert die Dichtefunktion von [mm] X_n [/mm] wichtig sein könnte. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste dies sein: [mm] f(x)=n(1-x)^n.
[/mm]
Ok, laut Definition wäre dann [mm] E[|X_n|^r] [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{x^r*n(1-x)^n dx}. [/mm] (den Betrag um das x kann ich weglassen, da ich ja nur über [0,1] integriere).
Ist das richtig soweit? Wie kann ich jetzt aber den Limes davon berechnen? Irgendwie komme ich nicht weiter.
(2) zu zeigen: [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} X_n [/mm] = 0)=1.
Hier habe ich leider überhaupt keine Ahnung.
(3) Total verloren!
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon einmal!
Mit freundlichen Grüßen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 11.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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