Konvergenz von ZV's < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 28.10.2005 | | Autor: | theodor |
Hallo zusammen!
gegeben ein Wahrscheinlichkeitsraum, betrachte man den Raum $ [mm] L^2 [/mm] $ aller zweifach integrierbaren Zufallsvariablen, d.h.
$ [mm] L^2=\{X:\Omega \rightarrow \IR \mbox{ messbar und } E[X^2] < +\infty \}. [/mm] $
Weiter gegeben sei nun eine Folge $ [mm] (X_n) [/mm] $ in $ [mm] L^2 [/mm] $ und X aus $ [mm] L^2. [/mm] $
Kann mir jemand den Unterschied zwischen stochastischer Konvergenz von $ [mm] (X_n) [/mm] $ gegen X, d.h.
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P[|X_n-X| \geq \varepsilon]=0, \forall \varepsilon>0, [/mm] $
und schwacher Konvergenz in $ [mm] L^2 [/mm] $ , d.h.,
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E[{X_n}Z] [/mm] $ = E[XZ] , $ [mm] \forall [/mm] $ Z $ [mm] \in L^2, [/mm] $
erklären? Die erste Konvergenzart ist täglich Brot in der Stochastik, die zweite gehört in die Funktionalanalysis. Gibt es einen Bezug der beiden? Warum findet man die zweite Konvergenzart in kaum einem Buch über Stochastik?
Verwirrt über die beiden Konvergenzarten bin ich vor allem deshalb, weil stochastische Konvergenz manchmal auch schwache Konvergenz von Zufallsvariablen genannt wird.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die stochastische Konvergenz impliziert die schwache Konvergenz in; die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Ich hatte hier eine andere schwachere Konvergenz im Kopf, nämlich die Konvergenz in Verteilung; diese hat hiermit aber wenig zu tun. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 03:01 Sa 29.10.2005 | | Autor: | theodor |
Danke für die Antwort! Ganz einverstanden bin jedoch nicht...
Dass aus stochastischer Konvergenz auch Konvergenz in Verteilung folgt, weiss ich schon. Nur, schwache Konvergenz in [mm] $L^2$ [/mm] bedeutete ja
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} E[{X_n}Z] [/mm] = E[XZ] , [mm] \forall [/mm] Z [mm] \in L^2, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$ [/mm]
Dies ist eine schwächere Konvergenzart als Konvergenz in [mm] $L^2$-Norm [/mm] (Cauchy-Schwarz!). Letzteres würde in der Tat auch stochastische Konvergenz, und damit Konvergenz in Verteilung implizieren.
ABER: betrachte eine Folge [mm] $(X_n)$, [/mm] wobei die [mm] $X_n$'s [/mm] i.i.d $N(0,1)$, und ebenfalls unabhängig von $X$ seien, und $X$ ebenfalls $N(0,1)$ sei.
Trivialerweise konvergiert diese Folge in Verteilung gegen $X$. Aber wähle nun in (1) speziell $Z:=X$. Dann gilt
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} E[{X_n}Z] [/mm] = [mm] E[{X_n}X]=E[{X_n}] [/mm] E[X] =0*0=0< [mm] E[XZ]=E[X^2]=1$.
[/mm]
Also ist Konvergenz in Verteilung nicht dasselbe wie die schwache Konvergenz gemäss (1). Wo liegt meine Verwirrung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:03 So 30.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, du hast Recht, ich war hier zu voreilig und hatte mir das nicht richtig durchgelesen. Leider hatte ich anschließend, nachdem es mir aufgefallen war, keine Möglichkeit mehr es zu verbessern. Allerdings kann ich die Frage nicht beantworten, tut mir leid.
Liebe Grüße
Stefan
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