Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 23.01.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Seien [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ [/mm] zwei Reihen. Wir definieren [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} c_k$ [/mm] durch:
[mm] $c_k=\left\{\begin{matrix}
a_\bruch{k+1}{2}, & \mbox{für }k\mbox{ ungerade} \\
b_\bruch{k}{2}, & \mbox{für }k\mbox{ gerade}
\end{matrix}\right.$
[/mm]
(a) Angenommen [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ [/mm] konvergieren gegen [mm] $\(A$ [/mm] bzw. [mm] $\(B$. [/mm] Zeigen sie, dass [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} c_k$ [/mm] dann gegen [mm] $\(A+B$ [/mm] konvergiert. |
Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe ist doch:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}c_k$=a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+...$
[/mm]
Dann würde doch gelten:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} c_k$=$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$+$\sum_{k=1}^{\infty} b_k=A+B$
[/mm]
Das dürfte ja nicht wirklich stimmen, denn die ersten beiden Summenglieder wären ja [mm] $a_1+a_2+b_1+b_2$. [/mm] Aber laut Definition dürfte es nur [mm] $a_1+b_1§ [/mm] sein.
Ich verstehe irgendwie nicht so genau, wie man mit der Definition von [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} c_k$ [/mm] umgeht.. ich kann das ja nicht einfach mit einem Summenzeichen ausdrücken und dann damit "rechnen" oder?
vielen Dank!!!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] und [mm]\sum_{k=1}^{\infty} b_k[/mm]
> zwei Reihen. Wir definieren [mm]\sum_{k=1}^{\infty} c_k[/mm] durch:
>
> [mm]$c_k=\left\{\begin{matrix}
a_\bruch{k+1}{2}, & \mbox{für }k\mbox{ ungerade} \\
b_\bruch{k}{2}, & \mbox{für }k\mbox{ gerade}
\end{matrix}\right.$[/mm]
>
> (a) Angenommen [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] und
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} b_k[/mm] konvergieren gegen [mm]\(A[/mm] bzw. [mm]\(B[/mm].
> Zeigen sie, dass [mm]\sum_{k=1}^{\infty} c_k[/mm] dann gegen [mm]\(A+B[/mm]
> konvergiert.
>
> Hallo,
> wenn ich das richtig verstanden habe ist doch:
> [mm]$\sum_{k=1}^{\infty}c_k$=a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+...$[/mm]
>
> Dann würde doch gelten:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} c_k[/mm]=[mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_k[/mm]+[mm]\sum_{k=1}^{\infty} b_k=A+B[/mm]
Nicht automatisch, denn die Summe links ist eine Umordnung, und die muss weder konvergent sein noch denselben Grenzwert haben. Dazu brauchst du aboslute Konvergenz.
> Das dürfte ja nicht wirklich stimmen, denn die ersten
> beiden Summenglieder wären ja [mm]$a_1+a_2+b_1+b_2$.[/mm] Aber laut
> Definition dürfte es nur [mm]$a_1+b_1§[/mm] sein.
Diese Sätze versteh ich überhaupt nicht.
> Ich verstehe irgendwie nicht so genau, wie man mit der
> Definition von [mm]\sum_{k=1}^{\infty} c_k[/mm] umgeht.. ich kann
> das ja nicht einfach mit einem Summenzeichen ausdrücken
> und dann damit "rechnen" oder?
Am besten du gehst über die Definition der Konvergenz einer Reihe und schaust dir die Partialsummenfolgen an. Da [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] und [mm]\sum_{k=1}^{\infty} b_k[/mm] konvergieren, gilt für die Folgen
[mm] r_n = \sum_{k=1}^{n} a_k[/mm] und [mm]s_n =\sum_{k=1}^{n} b_k[/mm],
dass
[mm] \limes_{n\to \infty} r_n = A [/mm]
und
[mm] \limes_{n\to\infty} s_n = B [/mm] .
Daraus musst du ableiten, dass die Partialsummenfolge
[mm] t_n = \sum_{k=1}^{n} c_k [/mm]
gegen $A+B$ konvergiert.
Viele Grüße
Rainer
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