Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe ein vermutlich sehr einfaches Problem, aber ich zerbreche mir den Kopf über die Lösung und komme einfach nicht darauf.
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+1} [/mm] $ bzw. $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1}{2n+1} [/mm] $
Nun wirken die Reihen auf mich zwar recht einfach, ich finde aber kein passendes Kriterium um Konvergenz bzw. Divergenz nachzuweisen.
Mit dem Majorantenkriterium komme ich nicht weiter.
Da weder 1/n Minorant bzw. 1/n² Majorant ist.
Das Quotientenkriterium ergibt =1 und mit dem ganzen Cauchy-Zeug kenne ich mich leider noch nicht aus (das [mm] \varepsilon [/mm] macht mich fertig).
Komme ich evtl. mit dem Kriterium für Reihen mit positiven Gliedern zu einem Ergebnis? Ich jedenfalls scheitere an der Umsetzung(bzw. am Verständnis).
Vielen Dank für eure Mühen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 So 15.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kenny,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
Tipp: [mm] $\bruch{1}{2n+1} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{2n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*(n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1}{2n+1}[/mm]
Frage: Lautet die Reihe vielleicht [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\red{(}-1\red{)^n}}{2n+1}[/mm] ??
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
erstmal danke für deine so schnelle Antwort!
Allerdings muss ich leider gestehen, dass mich dein Tipp nicht besonders weiter gebracht hat. Deine Rechnung ist zwar nachvollziehbar aber ich kann leider immer noch nicht auf ein bestimmtes Kriterium zur Konvergenzbestimmung schließen.
Meinst du vielleicht das Majorantenkriterium damit??(sorry)
Die beiden Reihen sind ein Teilergebnis einer Aufgabe, in der ich [mm] x^{2n+1} [/mm] im Zähler hatte und Aussagen zur Konvergenz bei verschiedenen x machen sollte. Für -1<x<1 folgt lt. Quotienkriterium absolute Konvergenz. Für -1>x>1 folgt Divergenz. Für [mm] x=\pm1 [/mm] komme ich wie beschrieben auf kein Ergebnis. Leider auch nicht mit deinem Tipp.
Gruß Kenny
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Hallo Max,
danke dir! Jetzt ist mir der Tipp vom Loddar auch klar geworden, er meinte also doch das Minorantenkriterium.
Also ist die Reihe divergent, weil die harmonische auch divergiert, oder?
Die zweite Reihe mit -1 im Zähler ergibt sich aus dem Zwischenergebnis zu der Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}
[/mm]
in welcher man das x so bestimmen musste, dass die Reihe konvergiert.
Für x=1 ergibt sich die erste Reihe und für x=-1 die Zweite.
Kann ich also aus der Divergenz der ersten Reihe die Divergenz der zweiten Reihe mit x=-1 direkt folgern?
Danke für eure Mühen mit soeinem NooB am anderen Bildschirm!
Ich hoffe die große Erleuchtung wird auch mich heimsuchen bevor mir selbst Mathematik-Schüler anvertraut werden!!!
Gruß Kenny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
> Die zweite Reihe mit -1 im Zähler ergibt sich aus dem
> Zwischenergebnis zu der Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
>
> in welcher man das x so bestimmen musste, dass die Reihe
> konvergiert.
> Für x=1 ergibt sich die erste Reihe und für x=-1 die
> Zweite.
> Kann ich also aus der Divergenz der ersten Reihe die
> Divergenz der zweiten Reihe mit x=-1 direkt folgern?
> Danke für eure Mühen mit soeinem NooB am anderen
> Bildschirm!
Ja, das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Max
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Ich wollte mich eigentlich nur noch mal bedanken!!
Danke!!
Gruß
Kenny
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