Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+6(-1)^n}
[/mm]
iii) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \vektor{2k \\ k}^{-1}
[/mm]
iv) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \vektor{2k \\ k}*2^{-k}
[/mm]
v) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}*2^n [/mm] |
könnt ihr mir vielleicht an einem Beispiel erklären, wie man die Konvergenz von Reihen berechnet? Ich habe mich die ganze Zeit mit dem Thema nur so durchgehangelt, aber so richtig verstanden habe ich es immer noch nicht...
Mathegirl
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Hallo mathegirl,
> i) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}[/mm]
>
> ii) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+6(-1)^n}[/mm]
>
> iii) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \vektor{2k \\ k}^{-1}[/mm]
>
> iv) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \vektor{2k \\ k}*2^{-k}[/mm]
>
> v) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}*2^n[/mm]
Achtung mit den Laufindizes, an den Reihen steht "k", in den Reihen "n" ...
> könnt ihr mir vielleicht an einem Beispiel erklären, wie
> man die Konvergenz von Reihen berechnet? Ich habe mich die
> ganze Zeit mit dem Thema nur so durchgehangelt, aber so
> richtig verstanden habe ich es immer noch nicht...
Dann solltest du dir dringendst mal die konvergenzkriterien für Reihen ansehen.
Da du ein Bsp. wolltest, picke ich mir das m.E. einfachste heraus, das ist v)
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}\cdot{}2^n$
[/mm]
Hier kann man (wie sooft bei Potenzen und Fakultäten) das Quotientenkriterium hernehmen und benutzen, dass [mm] $(n+1)!=n!\cdot{}(n+1)$ [/mm] ist.
Nun berechnen wir gem. QK den [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$, [/mm] wobei [mm] $a_n=\frac{n!}{n^n}\cdot{}2^n$ [/mm] ist.
Also [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|a_{n+1}\cdot{}\frac{1}{a_n}\right|=\frac{(n+1)!\cdot{}2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot{}\frac{n^n}{n!\cdot{}2^n}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(n+1)\cdot{}n!\cdot{}2^{n}\cdot{}2}{(n+1)^{n+1}}\cdot{}\frac{n^n}{n!\cdot{}2^n}$
[/mm]
Nun ausgiebig kürzen:
[mm] $=2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Was passiert hier nun für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Und was sagt das QK dazu?
Gruß
schachuzipus
>
>
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Di 01.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Die Kriterien kenne ich ja, aber ich kann so vieles nicht anwenden bzw. komme nicht von selbst auf manche Umformungen. Vielleicht ist das mein Problem...
in ner Stunde schreibe ich mal meine "Ergebnisse" hier her...
Danke für das Beispiel..
Mathegirl
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Also wäre dann weiterfolgend:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2*(1-\bruch{1}{n+1})^n [/mm] = 2
Stimmt das soweit ? Aber muss ich nicht noch zeigen, dass die Folge < ^ist?
Und ich nehme mal an,dass ich nun also für i) und ii) auch das Quotientenkriterium anwenden muss. Bei mir ist immer das Problem, dass ich da mit den umformungen nicht zurecht komme. daran scheitert es!
Ich nehme mir mal Beispiel i) vor:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}
[/mm]
ich komme grad mit eintippen nicht zurecht und schreibe deshalb nicht jeden schritt auf. nach Anwenden des Quotientenkriteriums erhalte ich dann:
[mm] \bruch{(-1)^{n+1} *((3n+1)+(n+1)*(-1)^{n+1})}{3n+n*(-1)^n*(-1)^{n+2}}
[/mm]
dann kann ich die [mm] (-1)^{n+1} [/mm] im Zähler und Nenner wegkürzen
[mm] \bruch{((3n+1)+(n+1)*(-1)^{n+1})}{3n+n*(-1)^n*(-1)}
[/mm]
nun wieder durch [mm] (-1)^{n+1} [/mm] teilen
[mm] \bruch{(3n+1)+(n+1)}{3n+n*(-1)^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4n+2}{3n+n*(-1)^n}= [/mm] 1
stimmt das soweit? bei ii) muss das ähnlich sein nehme ich an
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> Also wäre dann weiterfolgend:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2*(1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm] = 2
>
> Stimmt das soweit ? Aber muss ich nicht noch zeigen, dass
> die Folge < ^ist?
>
> Und ich nehme mal an,dass ich nun also für i) und ii) auch
> das Quotientenkriterium anwenden muss. Bei mir ist immer
> das Problem, dass ich da mit den umformungen nicht zurecht
> komme. daran scheitert es!
>
> Ich nehme mir mal Beispiel i) vor:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}[/mm]
>
>
> ich komme grad mit eintippen nicht zurecht und schreibe
> deshalb nicht jeden schritt auf. nach Anwenden des
> Quotientenkriteriums erhalte ich dann:
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1} *((3n+1)+(n+1)*(-1)^{n+1})}{3n+n*(-1)^n*(-1)^{n+2}}[/mm]
>
> dann kann ich die [mm](-1)^{n+1}[/mm] im Zähler und Nenner
> wegkürzen
>
> [mm]\bruch{((3n+1)+(n+1)*(-1)^{n+1})}{3n+n*(-1)^n*(-1)}[/mm]
>
> nun wieder durch [mm](-1)^{n+1}[/mm] teilen
>
> [mm]\bruch{(3n+1)+(n+1)}{3n+n*(-1)^n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4n+2}{3n+n*(-1)^n}=[/mm] 1
>
> stimmt das soweit? bei ii) muss das ähnlich sein nehme ich
> an
>
>
>
Hi,
deine Rechnungen stimmen! Aber was steht denn in deinem Script, was los ist, wenn der Limes gleich 1 ist nach Anwendung des QK?
PS: Bist du sicher, dass du in i) keinen Tippfehler gemacht hast? Irgendwie kann ich mit der Reihe nichts vernünftiges anfangen.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Wie meinst du das, du kannst mit der reihe nichts anfangen?
Ich habe da keinen Tipfehler drin. Das steht genau so in der Aufgabenstellung :)
Wenn 1 als Grenzwert existiert, dann konvergiert die Reihe nicht??!! muss kleiner sein als 1
LG
Mathegirl
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wenn beim Quotientenkriterium 1 raus kommt kannst du nichts über die Kvgz aussagen! das heist du musst dir nen anderes Kriterium suchen...
lg Seamus
Tipps: die i) und ii) sieht sehr nach Leibnitzkriterium aus,
bei der drei und iv) mal ausschreiben was das heißt und durch ne Majorante oder Mijorante abschätzen...
hab es selber nicht probiert aber damit würde ich anfangen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Aber ich habe gerade gesehen, dass ich mich verrechnet habe...kann da bitte nochmal jemand drüber schauen?
aber welches Kriterium soll ich dann anwenden?
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mi 02.12.2009 | | Autor: | seamus321 |
ich hab meinen obrigen Text gerade nochmal editiert, vielleicht hilft das ja! aber wie gesagt, ich hab es selber nicht ausprobiert
lg Seamus
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Leibniz kann nicht angewendet werden, weil [mm] (-1)^k*a_k [/mm] zwar vorliegt, [mm] a_k [/mm] aber nicht monoton fällt, weil sie negative Folgeglieder hat!
Aber mir ist für (i) doch was eingefallen:
Es könnte sein, dass die Reihe divergiert (muss man halt einfach mal ausprobieren, so nen Gedankengang). Hier gehts mit ner Minorante.
[mm] \Big|\frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}\Big|=\frac{1}{\Big|3n+n(-1)^n\Big|}
[/mm]
Der Nenner ist wegen der Dreiecksungleichung [mm] \le |3n|+|n(-1)^n|=3n+n=4n
[/mm]
Also wird der Bruch größergleich.
[mm] \Big|\frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}\Big|=\frac{1}{\Big|3n+n(-1)^n\Big|}\ge \frac{1}{4n}
[/mm]
und wenn du jetzt eine divergente Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_k [/mm] findest, wo alle [mm] c_k [/mm] kleinergleich [mm] \frac{1}{4n} [/mm] sind, ist die Divergenz bewiesen.
Gruß, Stefan.
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Beim überprüfen der Rechnung habe ich nun den Grenzwert -1 herausbekommen.
Kann vielleicht jemand meine Rechnung mal durchschauen?
Ich habe echt Probleme mit dem Umformen und wenn ich das jetzt schon falsch habe, dann wird die nächste Aufgabe auch falsch.
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^{n+2}* (3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})*(-1)^{n+1}}
[/mm]
[mm] (-1)^{n+1} [/mm] kürzen
[mm] \bruch{(-1)*(3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})}
[/mm]
kürzen mit [mm] (-1)^n
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)*(3n+n}{(3(n+1)+(n+1)(-1))}
[/mm]
= [mm] \bruch{-3n+n}{3n+3-n-1}= \bruch{-2n}{2n+2} \to [/mm] -1
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Hallo MG,
> Beim überprüfen der Rechnung habe ich nun den Grenzwert
> -1 herausbekommen.
Das ist nicht möglich, wenn du dir mal anschaust, was mit dem QK zu berechnen ist ...
> Kann vielleicht jemand meine Rechnung mal durchschauen?
> Ich habe echt Probleme mit dem Umformen und wenn ich das
> jetzt schon falsch habe, dann wird die nächste Aufgabe
> auch falsch.
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
Das ist nicht zu berechnen.
Was steht in deiner Mitschrift zum QK ??
Sicher nicht [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] ...
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n+2}* (3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})*(-1)^{n+1}}[/mm]
>
> [mm](-1)^{n+1}[/mm] kürzen
>
> [mm]\bruch{(-1)*(3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})}[/mm]
>
> kürzen mit [mm](-1)^n[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{(-1)*(3n+n}{(3(n+1)+(n+1)(-1))}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-3n+n}{3n+3-n-1}= \bruch{-2n}{2n+2} \to[/mm] -1
Schaue auch mal auf wikipedia rein, v.a. die [mm] $\limsup$-Variante [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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mit der Variante komme ich leider gar nicht zurecht..
Aber bei i) und ii) könnte ich das Leibnitzkriterium anwenden
bei iii) und iv) Quotientenkriterium.
Aber das Problem bei iii) und iv) ist, das ich es nicht umformen kann:
iii) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1} [/mm] = [mm] (\bruch{2k!}{k!+k!})^{-1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> mit der Variante komme ich leider gar nicht zurecht..
Wenn du nicht einmal nachschaust und mal hier auf die Rückfragen aufschreibst, wass denn mit dem QK zu berechnen ist, kann man dir nicht helfen.
Ich hab's redlich versucht ...
>
> Aber bei i) und ii) könnte ich das Leibnitzkriterium
> anwenden
Das wird dir nicht viel nützen, denn die Folgen [mm] $\left(\frac{1}{3n+n\cdot{}(-1)^n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] bzw. [mm] $\left(\frac{1}{3n+6\cdot{}(-1)^n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] sind zwar Nullfolgen, aber ersichtlich nicht monoton fallend ...
>
> bei iii) und iv) Quotientenkriterium. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber das Problem bei iii) und iv) ist, das ich es nicht
> umformen kann:
>
> iii) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1}[/mm] =
> [mm](\bruch{2k!}{k!+k!})^{-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Benutze die richtige Definition des Binomialkoeffizienten:
[mm] $\vektor{n\\k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$
[/mm]
Also [mm] $\vektor{2k\\k}=\frac{(2k)!}{k!\cdot{}(2k-k)!}=\frac{(2k)!}{\left[k!\right]^2}$
[/mm]
Mit dem "hoch -1" nimm also den Kehrbruch, damit hast du [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm] mit [mm] $a_k=\frac{\left[k!\right]^2}{(2k)!}$
[/mm]
Nun mit dem QK ran ...
Gruß
schachuzipus
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okay..also umgeformt ergibt sich dann: [mm] \bruch{1*4*9*...*k^2}{2*4*6*8*...*2k}= \bruch{k}{2}
[/mm]
Sorry, wenn ich mich so blöd anstelle, aber ich weiß es nicht.
[mm] a_{k+1}= \bruch{k+1}{2}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> okay..also umgeformt ergibt sich dann:
> [mm]\bruch{1*4*9*...*k^2}{2*4*6*8*...*2k}= \bruch{k}{2}[/mm]
>
> Sorry, wenn ich mich so blöd anstelle, aber ich weiß es
> nicht.
>
> [mm]a_{k+1}= \bruch{k+1}{2}[/mm]
Ich habe keinen Schimmer, was du gerade machst und bei welcher Aufgabe du bist ...
Bei der mit dem Binomialkoeffizienten?
Also bei [mm] $\sum\vektor{2k\\k}^{-1}$?
[/mm]
Dort habe ich dir geschrieben, wie du [mm] $a_k$ [/mm] anders schreiben kannst.
Damit ist [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\left[(k+1)!\right]^2}{(2k+2)!}\cdot{}\frac{(2k)!}{\left[k!\right]^2}$
[/mm]
Nun verwende einfachste Potenzgesetze und die Regel für Fakultäten: [mm] $(n+1)!=n!\cdot{}(n+1)$
[/mm]
Fasse damit den Ausdruck zusammen und schaue, was am Ende für [mm] $k\to\infty$ [/mm] passiert ...
Gruß
schachuzipus
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ich weiß leider nicht so rihtig, wie ich [mm] \bruch{2k!}{(k!)^2} [/mm] in die Form
(n+1)!= n!(n+1) darin mein Problem. Ich weiß diese Umformungen sind warscheinlich schulmathematik, aber dann muss ich da anscheinend was verpasst haben.
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Do 03.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Du darfst den Ausdruck nicht auseinander reißen:
[mm] $$\frac{\left[(k+1)!\right]^2}{(2k+2)!}\cdot{}\frac{(2k)!}{\left(k!\right)^2}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \frac{\left[(k+1)*k!\right]^2}{(2k)!*(2k+1)*(2k+2)}\cdot{}\frac{(2k)!}{\left(k!\right)^2}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \frac{(k+1)^2*\left(k!\right)^2}{(2k)!*(2k+1)*2*(k+1)}\cdot{}\frac{(2k)!}{\left(k!\right)^2}$$
[/mm]
Nun etwas kürzen, und schon sind die Fakultäten veschwunden ...
Gruß
Loddar
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doch, ich bin schon der Meinung, das so das Quotientenkriterium angewandt werden soll... der Grenzwert muss kleiner sein als 1 aber das dieses mit lim sup sein soll glaube ich nicht.
Ich versuche es ja auch nur zu verstehen und will das irgendwie hinbekommen!
Mathegirl
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> doch, ich bin schon der Meinung, das so das
> Quotientenkriterium angewandt werden soll...
> der Grenzwert
> muss kleiner sein als 1 aber das dieses mit lim sup sein
> soll glaube ich nicht.
>
> Ich versuche es ja auch nur zu verstehen und will das
> irgendwie hinbekommen!
Hallo,
wenn ich mir alles recht zusammenreime, möchtest Du gerade die Konvergenz der Reihe
>>>> i) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} [/mm] $
mit dem Quotientenkriterium untersuchen.
Schauen wir doch einfach mal, ob das geht.
Dazu fangen wir mal ganz langsam damit an, daß Du 1:1 aufschreibst (so, daß wir es auch sehen, prüfen und uns darauf beziehen können), was das Quotientenkriterium sagt.
Dann folgt Stufe 2:
1.welcher Quotient ist zu berechnen?
2.Tue das für Deine Reihe.
3.Bedenke, daß es Unterschiede gibt für gerades und ungerades n.
4.Ergebnisse?
5.Interpretation der Ergebnisse fußend auf den zuvor notierten Quotientenkriterium.
Auf dieser Basis kann man ins Gespräch kommen.
Gruß v. Angela
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okay...also alles schritt für schritt:
- also ich muss den Quotienten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] berechnen
- berechnet (habe ich im vorhergehenden beitrag ausführlich) und gekürzt erhalte ich dann: [mm] \bruch{-2n}{2n+2}
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht weiter. wo soll ich NACH dem anwenden des Quotientenkriteriums für n gerade und ungerade unterscheiden?
Ich habe den fehler sicher schon in der berechunung gemacht (siehe vorheriger beitrag) und deshalb habe ich ja gefragt, ob ich mich verrechnet habe oder nicht! Aber wenn das niemand überprüft ist es klar, das ich bei dem selben Fehler hängen bleibe!
Mathegirl
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> okay...also alles schritt für schritt:
>
> - also ich muss den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
> berechnen
Hallo,
das, was ich in meinem vorherigen Beitrag schrieb, schrieb ich nicht ohne Grund.
Es basierte u.a. auf den Fehlern, die ich zuvor sah.
Ich sehe keinerlei Sinn in dieser Diskussion, wenn Dir die Bereitschaft fehlt, das Quotientenkriterium mal im exakten Wortlaut zu Papier auf den Bildschirm zu bringen.
Ich denke mir schon etwas dabei, wenn ich das fordere...
U.a. sieht man so, mit welcher Version des Kriteriums in Deiner Vorlesung gearbeitet wird.
Ein wichtigerer Grund allerdings ist der, daß einem beim Aufschreiben oft Dinge auffallen, die man vorher nicht gesehen hat - und ich find's gut, wenn einem diese selbst auffallen.
Außerdem können wir uns doch viel besser am Kriterium entlanghangeln, wenn#s uns vorliegt.
Allerdings ist mir schon klar, daß ich keine Forderungen zu stellen habe. Ich werde mich aber aus dieser Diskussion ausklinken, wenn sie nicht sinnvoll geführt wird.
Du bittest um Hilfe, gehst aber gar nicht auf die Tips ein, die Dich zur Lösung führen sollen.
> - berechnet (habe ich im vorhergehenden beitrag ausführlich)
Ich find's auch nicht so schlimm, 'ne Rechnung ein zweites Mal aufzuschreiben. Ist ja auch übersichtlicher und für die Antwortenden behaglicher, wenn alles in einem Post gesammelt wird.
Und wenn Du's nicht kopierst, sondern nochmal frisch rechnest, machst Du vielleicht doch nicht dieselben Fehler nochmal...
Fürs Quotientenkriterium braucht man übrigens [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|, [/mm] und bei der Berechnung dieses Quotienten ist zwischen n gerade und n ungerade zu unterscheiden.
Übrigens würde in Sachen Quotientenkriterium herauskommen, daß es einen bei dieser Aufgabe nicht weiterbringt. Damit hat man zwar nicht die Aufgabe gelöst, aber viel gelernt...
Wenn's Dir also bloß um die schnelle Lösung des Aufgabenblattes gehst, kannst Du diesen Weg getrost streichen.
Gruß v. Angela
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Es ist nicht so, dass ich zu faul bin das aufzuschreiben, sondern das ich es teilweise wirklich nicht weiß! Und ja, das das Quotientenkriterium nicht weiterhilft habe ich auch bemerkt, da der Grenzwert 1 ist. Also sollte ich sicher das Leibniz-Kriterium anwenden oder?
Also nochmal das Quotientenkriterium:
[mm] a_{n+1}= \bruch{(-1)^{n+2}}{3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{(-1)^{n+2}}{3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1}}}{\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)^{n+2}*(3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})*(-1)^{n+1}}
[/mm]
nun kann ich die [mm] (-1)^{n+1} [/mm] kürzen und ausmultiplizieren
= [mm] \bruch{-3n+n}{3n+3-n+1} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{-2n}{2n+n} }
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{-2n}{2n+n} }= [/mm] 1
Weil der Grenzwert 1 ist, kann ich also keine Aussagen treffen zur Konvergenz und muss das Leibniz Kriterium anwenden. Aber die Unterscheidung mit n gerade oder ungerade beim Quotientenkriterium habe ich nicht verstanden.
Leibniz Kriterium:
Bei diesem Kriterium geht man von einer monoton fallenden Nullfolge aus.
Aber ich kann das Kriterium leider nicht anwenden...ich weiß nicht, wie man auf die Abschätzung kommt, wie z.B. ln2 bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}
[/mm]
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> Es ist nicht so, dass ich zu faul bin das aufzuschreiben,
> sondern das ich es teilweise wirklich nicht weiß!
Hallo,
daß Du das Quotientenkriterium nicht hinschreibst, hat doch nichts mit Nichtwissen zu tun.
das kann man doch an x Stellen nachlesen..
> das das Quotientenkriterium nicht weiterhilft habe ich auch
> bemerkt, da der Grenzwert 1 ist. Also sollte ich sicher das
> Leibniz-Kriterium anwenden oder?
Wurde nicht irgendwo im Thread schon festgestellt, daß die Voraussetzungen fürs Leibnizkriterium nicht erfüllt sind?
Wann kann man das Leibnizkriterium anwenden, und woran scheitert das hier?
>
> Also nochmal das Quotientenkriterium:
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{(-1)^{n+2}}{3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1}}[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{(-1)^{n+2}}{3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1}}}{\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(-1)^{n+2}*(3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})*(-1)^{n+1}}[/mm]
>
> nun kann ich die [mm](-1)^{n+1}[/mm] kürzen
dann hat man:
...= [mm]\bruch{(-1)*(3n+n(-1)^n)}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})}[/mm]
> und ausmultiplizieren
>
> = [mm]\bruch{-3n+n}{3n+3-n+1}[/mm] =
Oh Mann!
Was multiplizierst Du Dir denn da zurecht?
[mm] ...=\bruch{-3n+n(-1)^{n+1})}{(3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1})}
[/mm]
> = [mm]\bruch{-3n+n}{3n+3-n+1}[/mm] = [mm]\vmat{ \bruch{-2n}{2n+n} }[/mm]
Du kannst doch hier nicht einfach 'nen Betrag setzen. Das ist doch links und rechts gar nicht gleich.
Ich sag's jetzt zum letzten Mat:
Für Quotientenkriterium ist [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] auszurechnen, und es ist [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=|\bruch{3n+n(-1)^n}{3(n+1)+(n+1)(-1)^{n+1}}|.
[/mm]
Dieser Quotient wäre zu untersuchen.
Wie erwähnt: er fällt für n gerade und ungerade verschieden aus.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{-2n}{2n+n} }=[/mm] 1
Auch falsch... Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{-2n}{2n+n} }=\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{-2n}{3n} }=\bruch{2}{3}
[/mm]
> Leibniz Kriterium:
> Bei diesem Kriterium geht man von einer monoton fallenden
> Nullfolge aus.
Ah! da steht ja schon die Antwort auf das, was ich oben fragte.
Und? Ist [mm] \bruch{1}{3n+n(-1)^n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge?
>
> Aber ich kann das Kriterium leider nicht anwenden...
Keiner kann das bei dieser Reihe aus dem angedeuteten Grund.
So, nun weiß ich zwar schon 2 Möglichkeiten, wie die i) nicht geht,
aber wie die i) geht, fällt mir allerdings nicht ein.
Es hatte ja schonmal jemand nachgefragt, aber ich tu's trotzdem nochmal.
Der Aufschrieb der Folge ist ja seltsam: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}
[/mm]
Das sollte wirklich nicht [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n^{(-1)^n}} [/mm] heißen?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
nein, ich habe die Reihe schon richtig aufgeschrieben! Mir ist also kein Rechtschreibfehler unterlaufen!
Ja, das mit den betragsstrichen war ehr schusseligkeit bzw teilweise habe ich sie hier dann weggelassen, weil es mit dem Anzeigen sonst nicht geklappt hat. trotzdem habe ich noch nicht verstanden, WIE ich das mit den n gerade und n ungerade zeigen kann..
Ach stimmt...bei Leibniz muss ja das mit der Nullfolge und monoton fallend stimmen...
Mir würde jetzt nur die Möglichkeit einfallen, das mit einem Gegenbeispiel zu zeigen...nur leider fällt mir so eins gerade nicht ein...
Das gleiche problem ergibt sich ja dann bei der 2. Reihe auch wieder......
Mathegirl
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Vielleicht hast du meine gestrige Antwort auf diese Frage übersehen.
Die Reihe divergiert, man kann die harmonische Reihe als Minorante finden.
Ich zitiere mich selbst:
"
Leibniz kann nicht angewendet werden, weil $ [mm] (-1)^k\cdot{}a_k [/mm] $ zwar vorliegt, $ [mm] a_k [/mm] $ aber nicht monoton fällt, weil sie negative Folgeglieder hat!
Es könnte sein, dass die Reihe divergiert (muss man halt einfach mal ausprobieren, so nen Gedankengang). Hier gehts mit ner Minorante.
$ [mm] \Big|\frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}\Big|=\frac{1}{\Big|3n+n(-1)^n\Big|} [/mm] $
Der Nenner ist wegen der Dreiecksungleichung $ [mm] \le |3n|+|n(-1)^n|=3n+n=4n [/mm] $
Also wird der Bruch größergleich.
$ [mm] \Big|\frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}\Big|=\frac{1}{\Big|3n+n(-1)^n\Big|}\ge \frac{1}{4n} [/mm] $
und wenn du jetzt eine divergente Reihe M*$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_k [/mm] $ findest, [mm] M\in\IR_{\*}^{+}, [/mm] wo alle $ [mm] c_k [/mm] $ kleinergleich $ [mm] \frac{1}{4n} [/mm] $ sind, ist die Divergenz bewiesen.
"
Hilft dir das?
Stefan.
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Danke Stefan! :)
Das muss ich wohl überlesen haben....sorry...bei den vielen Beiträgen steigt man irgendwann nicht mehr durch. :(
Leider stelle ich mich grad voll blöd an, eine solche Reihe [mm] c_k [/mm] zu finden...muss mich am Wochenende echt mal richtig hinsetzen und lernen :(
Aber danke für die Hilfe :)
Mathegirl
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Wie wäre es mit [mm] $\frac{1}{5}*\frac{1}{4n}$? [/mm] Sind die alle kleiner als [mm] \frac{1}{4n}? [/mm] Divergiert die harmonische Reihe? Guck dir die Def. von Minorante solang an, bis du verstanden hast, warum das geht. ;)
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Hallo,
> Wie wäre es mit [mm]\frac{1}{5}*\frac{1}{4n}[/mm]? Sind die alle
> kleiner als [mm]\frac{1}{4n}?
Ja.
> [/mm] Divergiert die harmonische Reihe?
Ja.
> Guck dir die Def. von Minorante solang an, bis du
> verstanden hast, warum das geht. ;)
Hab' ich gemacht.
es geht doch nicht, weil des Mathegirls Reihe alterniert. Nennen wir ihre Reihe [mm] \summe a_n, [/mm] so gilt nicht für fast alle n, daß [mm] \frac{1}{4n}
(Sonst könnten wir so ja auch die Divergenz der alternierenden harmonischen Reihe zeigen. Bloß sie konvergiert...)
Gruß v. Angela
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Ahh, stimmt.
Ich hab ja nur gezeigt, dass die Reihe über den Betrag von der Folge divergent ist.
Ich ziehe meine Antwort zurück ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
das verstehe ich nicht...wie soll ich denn dann die Konvergenz zeigen?? die Aufgabe ist echt verwirrend!!!!!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:30 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
welche Möglichkeiten gäbe es denn noch, die Konvergenz zu zeigen? ist ja jett schon fast alles ausgeschlossen!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Ja okay ich habs verstanden...Das Minorantenkriterium zeigt ja immer nur die Divergenz und [mm] \bruch{1}{5} [/mm] ist ja logischerweise auch kleiner als [mm] \bruch{1}{4n}. [/mm] Aber nur, wenn n=1 ist!
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Wie gesagt, ich hab die Divergenz nur für die Beträge gezeigt. Da muss man jemand anders noch mal ran.
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> Ja okay ich habs verstanden...
Hallo,
das wäre schön,
aber demnach, was Du unten schreibst, hast Du nicht verstanden, wieso das Minorantenkriterium hier versagt.
Bei Gelegenheit solltest Du es nochmal gründlich studieren.
Gruß v. Angela
> Das Minorantenkriterium zeigt
> ja immer nur die Divergenz und [mm]\bruch{1}{5}[/mm] ist ja
> logischerweise auch kleiner als [mm]\bruch{1}{4n}.[/mm] Aber nur,
> wenn n=1 ist!
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> Hallo Angela,
> nein, ich habe die Reihe schon richtig aufgeschrieben! Mir
> ist also kein Rechtschreibfehler unterlaufen!
Hallo,
A.
wenn Du Dir wirklich sicher bist, die Reihe richtig aufgeschrieben zu haben, daß also auf Deinem Übungsblatt steht
> > > > > > i) $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} [/mm] $ ,
also [mm] n\in \IN [/mm] fest und der Laufindex also k ist, und die Reihenglieder [mm] a_k=\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}, [/mm] also konstant, dann ist die Sache ja total einfach:
Mit [mm] N:=\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} [/mm] haben wir [mm] \summe_{k=0}^{\infty}N, [/mm] und da [mm] N\not=0, [/mm] strebt diese Summe gegen [mm] \infty, [/mm] und wir sind fertig.
B.
Falls Du doch was falsch aufgeschrieben hast, und es eigentlich so sein sollte, daß es [mm] \summe_{\red{n}=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} [/mm] heißen sollte, also mit Laufindex n, dann kann das auch nicht sein, denn für n=0 ist das Reihenglied ja gar nicht definiert.
Es müßte in in diesem Fall also heißen
[mm] \summe_{n=\red{1}}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}
[/mm]
Das ist die Reihe, die wir die ganze Zeit diskutiert haben.
C.
Aufgrund der komischen Schreibweise hatte ich ja noch den Verdacht, daß [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n^{(-1)^n}} [/mm] gemeint sein könnte, was Du aber verneint hast.
Damit ist die Teilaufgabe i) dann ja gelöst.
---
Weil jetzt aber ein paar Leute so scharf über Variante B nachgedacht haben und ich mich freue, daß mir was eingefallen ist, noch zu B.:
Betrachten wir mal die Folge [mm] (s_k) [/mm] der Partialsummen [mm] s_k:=\summe_{n=1}^{k}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}.
[/mm]
Die gerade Teilfolge [mm] s_{2k} [/mm] kann man dann schreiben als
[mm] s_{2k}:=\summe_{n=1}^{2k}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} =\summe_{n=1}^{2k}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{k-1}(\bruch{1}{3(2n+1)-(2n+1)} -\bruch{1}{3(2n+2)+(2n+2)}) [/mm] (immer zwei aufeinanderfolgende Glieder zusammengefaßt)
[mm] =\summe_{n=0}^{k-1}\bruch{2n+3}{8(2n+1)(n+1)}
[/mm]
Und nun kann man mit dem Minorantenkriterium kommen, denn [mm] \bruch{2n+3}{8(2n+1)(n+1)}>\bruch{2n+1}{8(2n+1)(n+1)}=\bruch{1}{8(n+1)}, [/mm] weil die harmonische Reihe divergiert, divergiert (s_2k).
Na, und wenn eine Teilfolge der Folge Partialsummen divergiert, dann divergiert die Folge der Partialsummen, also die Reihe.
Mit dem Minorantenkriterium lagst Du, Stefan-auch-Lotti, also gar nicht schlecht - sofern ich nichts falsch gemacht habe.
Gruß v. Angela
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Also bei der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+6(-1)^n}
[/mm]
Ergibt sich das gleiche Problem wie bei der ersten Reihe..
Vielleicht kann mir jemand das 3. und 4.Beispiel erklären?
3.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1}
[/mm]
4.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}*2^{-k}
[/mm]
zu 3. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1}= \bruch{(2k)!}{(k!)^2}
[/mm]
wie forme ich das denn jetzt um?
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> Also bei der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{3n+6(-1)^n}[/mm]
>
> Ergibt sich das gleiche Problem wie bei der ersten Reihe..
>
> Vielleicht kann mir jemand das 3. und 4.Beispiel
> erklären?
>
> 3.) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1}[/mm]
> zu 3. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1}= \bruch{(2k)!}{(k!)^2}[/mm]
Hallo,
das ist natürlich Unfug. Es muß doch heißen
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}^{-1}= \red{\summe_{k=1}^{\infty}}\red{(}\bruch{(2k)!}{(k!)^2}\red{)^{-1}},
[/mm]
> wie forme ich das denn jetzt um?
Dazu, wie es weitergeht, hatte einer meiner Vorredner doch schon einiges gesagt - eigentlich hatte er's bis fast zum Ende gerechnet...
Es wäre ja sinnlos, das nun alles erneut aufzuschreiben.
Gruß v. Angela
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ja, ich habe aber nicht verstanden, wie ich (n+1)= n!(n+1) daraus erhalten soll, also die Umformung.. die -1 stört da irgendwie
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> ja, ich habe aber nicht verstanden, wie ich (n+1)= n!(n+1)
> daraus erhalten soll, also die Umformung.. die -1 stört da
> irgendwie
Tut mir leid, ich kann gerade nicht folgen, mir fehlt der Zusammenhang.
(n+1) ist sicher nicht dasselbe wie n!(n+1).
Wenn Du jedoch weißt, wie k! definiert ist, dann sollte Dich die Gleichung [mm] (n+1)\red{!}=n!(n+1) [/mm] nicht mehr wundern.
Von welcher -1 Du gerade redest, weiß ich nicht. Hier ist doch +1. (?)
Oh meine Güte! Ich weiß nun, was Du meinst (, hoffe aber, daß ich mich täusche...): was ist denn wohl mit [mm] x^{-1} [/mm] gemeint?
Bitte poste mit Zusammenhang, damit die Fragen nachvollziehbar sind.
Gruß v. Angela
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na [mm] x^{-1} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
es geht mir aber vielmehr um (n+1)!= n!(n+1), also wie ich
[mm] \bruch{(2k)!}{k!^2} [/mm] umformen kann...
ich weiß es echt nicht
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> na [mm]x^{-1}[/mm] ist [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> es geht mir aber vielmehr um (n+1)!= n!(n+1),
Das ist klargeworden jetzt?
also wie ich
>
> [mm]\bruch{(2k)!}{k!^2}[/mm] umformen kann...
> ich weiß es echt nicht
Was bedeutet k! ?
k!= ...
[mm] (k!)^2= [/mm] ...
Was bedeutet m!?
m!=...
Setze nun m=2k.
Dann ist (2k)!=...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:33 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
ich habe mich schon bei wikipedia zum Thema Fakultät durchgekämpft aber weiß es nicht...entweder stehe ich grad richtig aufm schlauch oder ich weiß es nicht..
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> ich habe mich schon bei wikipedia zum Thema Fakultät
> durchgekämpft aber weiß es nicht...entweder stehe ich
> grad richtig aufm schlauch oder ich weiß es nicht..
was ist 5!
was ist 9!
was ist 100!
Gruß v. Angela
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na das ist ja nicht das Problem!
5!= 1*2*3*4*5=120
9!= 1*2*...*9= 362880
100!= 1*2*...*100= (weiß ich jetzt nicht im kopf)
also ist (2k)!= 2*4*6*8*...*2k
und k!^2= [mm] 1^2*2^2*3^2*...*k^2
[/mm]
soweit weiß ich das ja, aber ich habe einfach das problem, die konvergenz zu bestimmen...ich weiß auch nicht woran das liegt. und die formel (n+1)!= n!(n+1) irritiert mich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Warum irritiert dich denn (n+1)!=n!*(n+1) ?
was bedeutet denn (n+1)! ???
Na eben 1*2*3*...*n*(n+1)
1*2*3*...*n wird dann wieder zusammengefasst zu n! und die (n+1) müssen wir ja auch noch zählen.
Folglich n!*(n+1)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
das irritiert mich, weil ich nicht weiß, was das mit meinem beispiel hier zu tun haben soll!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Die Rechenregel brauchst du, wenn du das Quotientenkriterium verwendest.
Wurde doch bereits erklärt.
Schau dir den Beitrag von Loddar an...der hat es sich ja quasi schon fast komplett gezeigt.
Kürze den Bruch mal und schau was übirg bleibt.
Lass das Ding gegen unendlich laufen und betrachte den Grenzwert des Quotienten. Ist der <1 oder > 1 ?
Was weißt du darüber, falls dies der Fall ist?
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[mm] \bruch{[(k+1)!]^2}{(2k+2)!}*\bruch{(2k)!}{(k!)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(k+1)^2*(k!)^2}{(2k)!*(2k+1)*2*(k+1)}*\bruch{(2k)!}{(k!)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(k+1)^2}{4k^2+6k+2}
[/mm]
Und jetzt kann ich z.B. das Wurzelkriterium anwenden??
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> [mm]\bruch{[(k+1)!]^2}{(2k+2)!}*\bruch{(2k)!}{(k!)^2}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{(k+1)^2*(k!)^2}{(2k)!*(2k+1)*2*(k+1)}*\bruch{(2k)!}{(k!)^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(k+1)^2}{4k^2+6k+2}[/mm]
Hui!
>
> Und jetzt kann ich z.B. das Wurzelkriterium anwenden??
Nein. Du hast doch so angefangen, als wolltest Du das Quotientenkriterium anwenden. das Wurzelkriterium geht doch anders.
Gruß v. Angela
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stimmt das also?? Aber das Quotientenkriterium geht doch nicht....
[mm] \bruch{\bruch{(k+2)^2}{(2k+3)^2}}{\bruch{(k+1)^2}{(2k+1)^2}}
[/mm]
also dann natürlich in einen bruch bringen, kürzen und grenzwert bestimmen und vergleichen ob der betrag < 1 ist...ist das so richtig?
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> stimmt das also??
Ja.
> Aber das Quotientenkriterium geht doch
> nicht....
Wieso?
>
>
>
> [mm]\bruch{\bruch{(k+2)^2}{(2k+3)^2}}{\bruch{(k+1)^2}{(2k+1)^2}}[/mm]
Hilfe! was machst Du denn jetzt?
Du hattest doch zuvor ausgerechnet, daß [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}=$ \bruch{(k+1)^2}{4k^2+6k+2} [/mm] $
und nun den limes für [mm] k\to \infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
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*lach* was hab ich denn da gemacht?? jetzt muss ich selbst lachen....naja es ist schon bald spät genug! :)
der grenzwert ist also [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
und das quotientenkriterium gilt!
ao, jetzt muss ich nur noch schaffen die 4. Aufgabe umzuformen, dann hab ichs geschafft! :)
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> 4.) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}*2^{-k}[/mm]
Hallo,
auch hier würde ich erstmal das Quotientenkriterium probieren, wenn#s nicht klappt, muß man sich was anderes einfallen lassen.
Gruß v. Angela
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ich würde auf Anhieb ehr sagen, das man hier das Wurzelkriterium nutzen kann oder liege ich da falsch? mein problem ist nach wie vor die Umformung, mit der ich überhaupt nicht klar komme!
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> ich würde auf Anhieb ehr sagen, das man hier das
> Wurzelkriterium nutzen kann oder liege ich da falsch?
Hallo,
keine Ahnung. Ich müßte auch erst beides probieren und gucken, was klappt.
Dann probiere doch das Wurzelkriterium und mach in allen Einzelheiten vor, wie weit Du kommst.
> mein
> problem ist nach wie vor die Umformung,
Welche denn jetzt genau? was kannst Du nicht?
Gruß v. Angela
mit der ich
> überhaupt nicht klar komme!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:12 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
wie gesagt, ich komme nicht auf die umformungen um zu rechnen! das fakultätzeichen muss weg, dann komme ich weiter....
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> wie gesagt, ich komme nicht auf die umformungen um zu
> rechnen! das fakultätzeichen muss weg, dann komme ich
> weiter....
Hallo,
s. meine andere Antwort.
Mach Dir erstmal klar, wie die Fakultät defineirt ist, dann kriegst Du das Zeichen auch weg.
Gruß v. Angela
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Also wenn ich wieder das Quotientenkriterium anwende, kann ich dann:
die fakultät umschreiben und einfach mit der [mm] 2^{-k}multiplizieren?
[/mm]
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> Also wenn ich wieder das Quotientenkriterium anwende, kann
> ich dann:
> die fakultät umschreiben und einfach mit der
> [mm]2^{-k}multiplizieren?[/mm]
Hallo,
wenn Du das Quotientenkriterium anwenden möchtest, dann mußt Du das sogar so machen.
Gruß v. Angela
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