Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mo 23.11.2009 | | Autor: | bero2009 |
| Aufgabe | Prüfe die folgenden Reihen auf Konvergenz
[mm]a) $\sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{k-4}{k^2-3^k+1}$[/mm]
[mm]b) $\sum\limits^{\infty}_{k=1} \frac{1}{\sqrt{k\cdot (k+1)}}$[/mm]
[mm]c) $\sum\limits^{\infty}_{k=1} \binom {2k}{k}^{-1}$[/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe die obige Aufgabe und bin noch sehr unsicher was die Anwendung von Konvergenzkriterien angeht. Ich habe den folgenden Ansatz zu der Reihe a) verfolgt:
Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, wenn gilt [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}\Left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Right| \leq q$ mit $0\leq q<1[/mm]
Also [mm]$\Left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Right|= \frac{k-3}{(k+1)^2-3k+2}\cdot \frac{k^2-3k+1}{k-4}=...=\frac{k^3-6k^2+10k-3}{k^3-5k^2+7k-12}= \frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12} = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12}=\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{-2}{-11}<1 \Rightarrow[/mm] die Reihe konvergiert.
Ich habe die Umformungen mal weggelassen, weil es mir mehr um den Weg geht. Habe ich das so richtig gemacht? Ich werde nämlich das Gefühl nicht los, dass ich da etwas grundsätzliches falsch gemacht habe. Ich hoffe einer von euch kann mir etwas zu meinem Weg und meiner Lösung sagen.
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Prüfe die folgenden Reihen auf Konvergenz
> [mm]a) $\sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac{k-4}{k^2-3^k+1}$[/mm]
> [mm]b) $\sum\limits^{\infty}_{k=1} \frac{1}{\sqrt{k\cdot (k+1)}}$[/mm]
>
> [mm]c) $\sum\limits^{\infty}_{k=1} \binom {2k}{k}^{-1}$[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> ich habe die obige Aufgabe und bin noch sehr unsicher was
> die Anwendung von Konvergenzkriterien angeht. Ich habe den
> folgenden Ansatz zu der Reihe a) verfolgt:
>
> Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, wenn
> gilt [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}\Left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Right| \leq q$ mit $0\leq q<1[/mm]
>
> Also [mm]$\Left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Right|= \frac{k-3}{(k+1)^2-3k+2}\cdot \frac{k^2-3k+1}{k-4}=...=\frac{k^3-6k^2+10k-3}{k^3-5k^2+7k-12}= \frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12} = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12}=\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{-2}{-11}<1 \Rightarrow[/mm]
> die Reihe konvergiert.
>
> Ich habe die Umformungen mal weggelassen, weil es mir mehr
> um den Weg geht. Habe ich das so richtig gemacht? Ich werde
> nämlich das Gefühl nicht los, dass ich da etwas
> grundsätzliches falsch gemacht habe. Ich hoffe einer von
> euch kann mir etwas zu meinem Weg und meiner Lösung
Das
[mm] \frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12}
[/mm]
ist falsch !
Richtig:
[mm] \frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2}-\bruch{3}{k^3})}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2}-\bruch{12}{k^3})}
[/mm]
Mit dem Quotienten _Krit. kommst Du nicht ans Ziel, denn der Limes = 1
Tipp Minorantenkriterium: zeige: [mm] a_k \ge \bruch{1}{2k} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 6
Fred
> sagen.
>
> Danke schon mal.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 23.11.2009 | | Autor: | bero2009 |
> [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12}[/mm]
>
> ist falsch !
> Richtig:
>
> [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2}-\bruch{3}{k^3})}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2}-\bruch{12}{k^3})}[/mm]
Das kann ich gerade nicht ganz nachvollziehen. Warum muss ich die [mm]k^3[/mm] auch bei der 3 im Zähler bzw. 12 im Nenner ausklammern? Wenn ich hier: [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12} [/mm] die [mm]k^3[/mm] wieder reinmultipliziere komm ich doch wieder auf die Ausgangsgleichung. Ich habe also nichts verändert. Oder irre ich mich total? (nie ausgeschlossen;))
> Mit dem Quotienten _Krit. kommst Du nicht ans Ziel, denn
> der Limes = 1
Somit wäre der Limes dann auch nicht eins und das Quotientenkriterium aussagekräftig.
> Tipp Minorantenkriterium: zeige: [mm]a_k \ge \bruch{1}{2k}[/mm]
> für k [mm]\ge[/mm] 6
Ich muss gestehen, dass ich gerade keinen Ansatz habe, wie ich die Ungleichung für k [mm]\ge[/mm] 6 zeigen könnte. Wie bist du auf die Idee gekommen [mm]\bruch{1}{2k}[/mm] als Minorante zu wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> >
> [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12}[/mm]
> >
> > ist falsch !
Pardon, falsch ist das nicht, da war ich zu voreilig, aber
[mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12} \not=\frac{1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2}-3}{1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2}-12}[/mm]
Siehst Du Deinen Fehler ?
> > Richtig:
> >
> >
> [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2}-\bruch{3}{k^3})}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2}-\bruch{12}{k^3})}[/mm]
>
> Das kann ich gerade nicht ganz nachvollziehen. Warum muss
> ich die [mm]k^3[/mm] auch bei der 3 im Zähler bzw. 12 im Nenner
> ausklammern? Wenn ich hier:
> [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12}[/mm]
> die [mm]k^3[/mm] wieder reinmultipliziere komm ich doch wieder auf
> die Ausgangsgleichung. Ich habe also nichts verändert.
> Oder irre ich mich total? (nie ausgeschlossen;))
>
> > Mit dem Quotienten _Krit. kommst Du nicht ans Ziel, denn
> > der Limes = 1
>
> Somit wäre der Limes dann auch nicht eins und das
> Quotientenkriterium aussagekräftig.
>
> > Tipp Minorantenkriterium: zeige: [mm]a_k \ge \bruch{1}{2k}[/mm]
> > für k [mm]\ge[/mm] 6
>
> Ich muss gestehen, dass ich gerade keinen Ansatz habe, wie
> ich die Ungleichung für k [mm]\ge[/mm] 6 zeigen könnte. Wie bist
> du auf die Idee gekommen [mm]\bruch{1}{2k}[/mm] als Minorante zu
> wählen?
Strategie: für große k verhält sich das Reihenglied [mm] a_k [/mm] etwa wie [mm] $\bruch{1}{k}$
[/mm]
Daher die Vermutung: die vorgelegte Reihe divergiert.
Also macht man den Ansatz: [mm] a_k \ge $a*\bruch{1}{k}$ [/mm] mit einem positiven a
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 23.11.2009 | | Autor: | bero2009 |
> [mm]\frac{k^3\cdot(1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2})-3}{k^3\cdot(1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2})-12} \not=\frac{1-\frac{6}{k}+\frac{10}{k^2}-3}{1-\frac{5}{k}+\frac{7}{k^2}-12}[/mm]
>
> Siehst Du Deinen Fehler ?
>
Aus Summen kürzen nur die Dummen. Ops :)
>
Ich habe jetzt folgende Lösung zu a. Die Aufgabe wurde in einer anderen Diskussion von Matheprof auch behandelt. Meine Lösung lehnt sich an dieser an. Ich poste meine Lösung trotzdem mal, damit ggf. Leser dem Thread folgen können.
a) Die Reihe [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k =0}\frac{k-4}{k^2-3k+1}$ [/mm] divergiert. Es [mm] gilt:\\
[/mm]
[mm] $a_k=\frac{k\cdot(1-\frac{4}{k})}{k\cdot(k-3+\frac{1}{k})}= \frac{1-\frac{4}{k}}{k-3+\frac{1}{k}}> \frac{1-\frac{4}{k}}{k+\frac{1}{k}}>\frac{1}{2k} [/mm] $ für alle $k [mm] \geq 6$\\
[/mm]
Also ist [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k =0}\frac{1}{2k}$ [/mm] eine divergierende Minorante, weshalb auch die Reihe [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k =0}\frac{k-4}{k^2-3k+1}$ [/mm] divergiert.
b) folgt
c) Die Reihe [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k=1}\binom{2k}{k}^{-1}$ [/mm] divergiert. Es [mm] gilt:\\
[/mm]
[mm] $a_k=\binom{2k}{k}^{-1}=(\frac{2k!}{k!\cdot(2k-k)!})^{-1}=(\frac{2\cdot k!}{k!\cdot k!})^{-1}=(\frac{2}{k!})^{^-1}=\frac{k!}{2}>k$\\
[/mm]
Also ist [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k=1} [/mm] k$ eine divergierende Minorante, weshalb auch die Reihe [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k=1}\binom{2k}{k}^{-1}$ [/mm] divergiert.
Kann ich das bei der c so machen? Bei der Wahl der Minorante bin ich mir nicht sicher. Da hab ich es mir etwas sehr einfach gemacht. Muss ich noch zeigen, dass meine Minorante divergiert? Eigentlich ist das doch ersichtlich oder?
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[mm] a_k=\binom{2k}{k}^{-1}=(\frac{2k!}{k!\cdot(2k-k)!})^{-1}=(\frac{2\cdot k!}{k!\cdot k!})^{-1}=(\frac{2}{k!})^{^-1}=\frac{k!}{2}>k
[/mm]
das müsste falsch sein, weil die die Klammer fehlt
also,
[mm] a_k=\binom{2k}{k}^{-1}=(\frac{(2k)!}{k!\cdot(2k-k)!})^{-1}=(\frac{(2k)!}{k!\cdot k!})^{-1}=(\frac{k!k!}{(2k)!})=\frac{(k!)^{2}}{(2k)!}
[/mm]
und dann kannst du auch das k! nicht kürzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mo 23.11.2009 | | Autor: | reverend |
Das siehst Du völlig richtig, Matheproof.
Ich habe Deinen Beitrag darum als Antwort klassifiziert. Die ursprüngliche Frage ist damit aber noch nicht vollständig beantwortet.
lg
reverend
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hallo bero2009,
versuchs mal mit dem Quotientenkriterum. Du müsstest dann rausbekommen, dass die Reihe konvergiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 25.11.2009 | | Autor: | stk66 |
Ich hab das ganze mal mit dem Quotientenkriterium versucht. Bleibe aber an folgender Stelle hängen:
[mm] (\bruch{(2k)!}{k*(2k-k)!})^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{k*k!}{(2k)!}
[/mm]
Einsetzen in den Quotienten [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] (Betragsstriche lasse ich wegen schreibfaul mal weg)
[mm] \bruch{(k+1)*(k+1)!}{(2k+2)!}*\bruch{(2k)!}{k*k!} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)*(k+1)!*(2k)!}{k*k!*(2k+2)!} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)*(k+1)*(2k)!}{k*(2k+2)!} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)*(k+1)}{k*(2k+1)*(2k+2)}
[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Ist das bis hier korrekt oder habe ich schon einen Fehler drin? Wie gehts dann weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mi 25.11.2009 | | Autor: | stk66 |
Habe meinen Fehler gefunden. Man sollte sich halt beim Einsetzen in den Binomialkoeffizienten nicht verschreiben...> Ich hab das ganze mal mit dem Quotientenkriterium versucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 26.11.2009 | | Autor: | ignos |
Wie sieht den die Lösung für b) aus.
Ich krieg da einfach nichts raus!
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Hallo ignos, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du findest leicht eine divergente Minorante vom Typ [mm]\bruch{1}{k\pm a}[/mm], wobei [mm] a\in\IN [/mm] und ziemlich klein ist...
Grüße
reverend
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