Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 05.04.2005 | | Autor: | Gopal |
Hallo;
ich soll die folgenden zwei Reihen auf Konvergenz untersuchen, die zweite auch auf absolute Konvergenz:
a) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k- \wurzel{k}}{(k+\wurzel{k})^{2}}[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{i^{k}}{k}[/mm]
Ich vermute, das i die imaginäre Einheit sein soll, aber das ist nicht weiter festgelegt in der Aufgabe.
Ich habe in a) mit dem Quotientenkriterium erfolglos rumprobiert, und zu b) ist mir gleich gar nichts eingefallen.
kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
dank euch
gopal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 05.04.2005 | | Autor: | choosy |
zur 2. :
Nach Definition ist $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{i^{k}}{k} [/mm] $ absolut konvergent
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \|\bruch{i^{k}}{k} \|$ [/mm] konvergent
mit
$ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}\| \bruch{i^{k}}{k} \| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \|i^k\| \|\bruch{1}{k}\| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{k} [/mm] $
folgt das die Reihe nicht absolut konvergiert
um die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen müsste man das Leibniz kriterium für alternierende Reihen anwenden können...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 05.04.2005 | | Autor: | Gopal |
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> zur 2. :
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> Nach Definition ist [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{i^{k}}{k}[/mm]
> absolut konvergent
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \|\bruch{i^{k}}{k} \|[/mm]
> konvergent
>
> mit
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}\| \bruch{i^{k}}{k} \| = \summe_{k=1}^{ \infty} \|i^k\| \|\bruch{1}{k}\| = \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> folgt das die Reihe nicht absolut konvergiert
>
ok.
> um die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen müsste man das
> Leibniz kriterium für alternierende Reihen anwenden
> können...
ja, aber wie mache ich das?
das Leibnizkriterium besagt doch, dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} a_{k}[/mm] genau dann konvergent ist, wenn [mm] a_{k} [/mm] eine monoto fallende Nullfolge ist.
aber ich habe ja jetzt [mm] i^{k} [/mm] statt [mm] (-1)^{k+1}
[/mm]
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Hallo Gopal,
Wie wär's die Reihe in imaginären/ reellen Anteil zu zerlegen?
Anders gesagt:
Was ist [mm] i^1,i^2,i^3,i^4,i^5....
[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 05.04.2005 | | Autor: | Gopal |
> Hallo Gopal,
> Wie wär's die Reihe in imaginären/ reellen Anteil zu
> zerlegen?
> Anders gesagt:
> Was ist [mm]i^1,i^2,i^3,i^4,i^5....[/mm]
> Alles klar?
> gruß
> mathemduenn
hi,
danke.
also die Potenzen von i vom Grad 2k sind immer abwechselnd 1 und -1 und die vom Grad 2k+1 immer i und -i
dann habe ich jetzt die Summe in zwei Teilsummen zerlegt mit den geraden und ungeraden Indexen k:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{2k}}{2k} + \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{2k+1}}{2k+1} = \summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}* \underbrace{\bruch{1}{2k}}_{=a_{n}}] + i* \summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}* \underbrace{\bruch{1}{2k+1}}_{b_{n}}][/mm]
das [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] monoton fallende Nullfolgen sind ist klaar, und dann müsste nach Leibniz
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{k}}{k} = \summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}*a_{n}] + i*\summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}*b_{n}][/mm]
konvergent sein
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 05.04.2005 | | Autor: | choosy |
>
> also die Potenzen von i vom Grad 2k sind immer abwechselnd
> 1 und -1 und die vom Grad 2k+1 immer i und -i
>
> dann habe ich jetzt die Summe in zwei Teilsummen zerlegt
> mit den geraden und ungeraden Indexen k:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{2k}}{2k} + \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{2k+1}}{2k+1} = \summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}* \underbrace{\bruch{1}{2k}}_{=a_{n}}] + i* \summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}* \underbrace{\bruch{1}{2k+1}}_{b_{n}}][/mm]
>
> das [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] monoton fallende Nullfolgen sind ist
> klaar, und dann müsste nach Leibniz
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{k}}{k} = \summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}*a_{n}] + i*\summe_{k=1}^{\infty} [(-1)^{k}*b_{n}][/mm]
>
> konvergent sein
>
> stimmt das so?
jedenfalls musst du dir nochmal angucken wo deine reihen anfangen....
ich bin mir nicht so sicher, ob man so ohne weiteres eine Reihe aufteilen darf, wenns um konvergenz geht,
auf jeden fall gehts so:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{i^k}{k}= \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} (\frac{-1}{2k}+\frac{i}{2k-1})$
[/mm]
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Hallo choosy,
> ich bin mir nicht so sicher, ob man so ohne weiteres eine
> Reihe aufteilen darf, wenns um konvergenz geht,
Die Summe 2er konvergenter Reihen ist auch konvergent. Beim Produkt brauchte man die absolute Konvergenz.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Hensing |
zu $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k- \wurzel{k}}{(k+\wurzel{k})^{2}} [/mm] $:
man kann das Ganze mit einer Minorante zur Divergenz bringen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k- \wurzel{k}}{(k+\wurzel{k})^{2}} \ge \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k- \wurzel{k}}{(k+k)^{2}} \ge \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k}{(2{k})^{2}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k}{4k^2}=\bruch{1}{4} \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{k} [/mm] $
dies ist die harmonische Reihe, die bekanntlicher Weise divergiert!
Frage: was soll daran falsch sein? Wenn ich eine divergierende Minorante finde divergiert die ganze Summe - oder etwa nicht?
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Hallo Hensing,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ganz so einfach funktioniert's leider nicht.
Folgende Ungleichng stimmt nicht:
[mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k- \wurzel{k}}{(k+k)^{2}} \ge \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k}{(2{k})^{2}} [/mm]
Ok?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Gopal |
> Hallo Hensing,
>
> Ganz so einfach funktioniert's leider nicht.
> Folgende Ungleichng stimmt nicht:
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k- \wurzel{k}}{(k+k)^{2}} \ge \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k}{(2{k})^{2}}[/mm]
>
> Ok?
> gruß
> mathemaduenn
>
vielen dank euch allen!
aber wie komme ich jetzt bei der ersten aufgabe weiter?
ich habe mal mit der 3. binomischen formel probiert und dann verschiede Abschätzungen ausprobiert aber bin immer irgendwie bei
[mm] \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k^{2}[/mm]
oder ähnlichem angelangt.
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Hallo Gopal,
für [mm] k\ge{}4 [/mm] ist [mm]\bruch{k}{2}\ge\sqrt{k}[/mm]. Also ist [mm] k-\sqrt{k}\ge\bruch{k}{2}[/mm] und [mm]k+\sqrt{k}\le 2k[/mm]. Und damit [mm]\bruch{k-\sqrt{k}}{(k+\sqrt{k})^2}\ge\bruch{k}{2}*\bruch{1}{4k^2}=\bruch{1}{8k}[/mm]. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe folgt dann auch die Divergenz deiner Reihe.
Ich hoffe, dass das Argument glatt geht und ich nicht irgendein Vorzeichen verschludert habe...
banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Gopal |
> Hallo Gopal,
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> für [mm]k\ge{}4[/mm] ist [mm]\bruch{k}{2}\ge\sqrt{k}[/mm]. Also ist
> [mm]k-\sqrt{k}\ge\bruch{k}{2}[/mm] und [mm]k+\sqrt{k}\le 2k[/mm]. Und damit
> [mm]\bruch{k-\sqrt{k}}{(k+\sqrt{k})^2}\ge\bruch{k}{2}*\bruch{1}{4k^2}=\bruch{1}{8k}[/mm].
> Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe folgt dann auch
> die Divergenz deiner Reihe.
> Ich hoffe, dass das Argument glatt geht und ich nicht
> irgendein Vorzeichen verschludert habe...
>
> banachella
danke. das stimmt wohl so.
ich frage mich nur mal wieder: wie kommt man darauf, wenn es einem keiner sagt?
ich habe mich auch erst gewundert, dass du die ersten drei summanden so kommentarlos unter den tisch fallen lässt, aber das ist wohl ok, da unendlich +/- drei summanden (bei divergenz) natürlich unendlich bleibt und ein konkreter wert (bei konvergenz) +/- drei summanden auch wieder ein konkreter wert ist.
cu
gopal
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