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Konvergenz von Reihen: Korrektur Aufgabe 4
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Do 23.04.2009
Autor: StevieG

Aufgabe
Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Benutzen Sie Dazu die einschlägigen Konvergenzkriterien aus der Vorlesung.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2} [/mm]

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2} [/mm] =

Ich hole [mm] n^{2}raus, [/mm] kürze mit dem Nenner.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{3n-2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{n(3-\bruch{2}{n})}= \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0

?

Gruss

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Do 23.04.2009
Autor: steppenhahn


> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2}[/mm]
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2}[/mm] =
>
> Ich hole [mm]n^{2}raus,[/mm] kürze mit dem Nenner.
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{3n-2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{n(3-\bruch{2}{n})}= \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> = 0

Hallo!

Nein, das ist leider falsch. Du darfst den Limes nicht in eine "unendliche Summe" ziehen. Zur Auswertung musst du eines der Konvergenzkriterien für Reihen anwenden.
Vielleicht probierst du mal das Quotientenkriterium aus, falls ihr das schon hattet. Tipp: Es wird fehlschlagen, denn die Reihe konvergiert nicht. Das kann man auch an der auffälligen Ähnlichkeit zur harmonischen Reihe sehen (die nicht konvergiert).

Viele Grüße, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Do 23.04.2009
Autor: StevieG

Danke erstmal für die Antworten.

Ich habe Quotientenkriterium angewendet.  |ak+1 / ak|

Komme aber durch kürzen auf 1/n * ... Somit Grenzwert 0.

Somit würde die reihe doch konvergieren?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Do 23.04.2009
Autor: fred97


> Danke erstmal für die Antworten.
>  
> Ich habe Quotientenkriterium angewendet.  |ak+1 / ak|
>
> Komme aber durch kürzen auf 1/n * ... Somit Grenzwert 0.
>  
> Somit würde die reihe doch konvergieren?


Das stimmt doch nicht! Bei obiger Reihe ist

             [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = 1

Zeig mal Deine Rechnungen.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 23.04.2009
Autor: StevieG

...= [mm] \bruch{4(n+1)^{2}}{3(n+1)^{2}}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}= [/mm]
[mm] \bruch{(4n+4)^{2}}{(3n+3)^{3}-2}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=... [/mm] stimmt das überhaupt bis hierhin?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 23.04.2009
Autor: fred97

Nein.

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Do 23.04.2009
Autor: StevieG

Wo ist der Fehler?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 23.04.2009
Autor: angela.h.b.


> ...=
> [mm]\bruch{4(n+1)^{2}}{3(n+1)^{2}-2}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{(4n+4)^{2}}{(3n+3)^{3}-2}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=...[/mm]
> stimmt das überhaupt bis hierhin?

Hallo,

es ist [mm] 4(n+1)^{2}\not=(4n+4)^{2}, [/mm] im Nenner entsprechend.


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Do 23.04.2009
Autor: StevieG

...= [mm] \bruch{4n² +8n +4}{3n³+9n²+12n+6-2}\bruch{3n³-2}{4n²}= [/mm] ...


richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 23.04.2009
Autor: schachuzipus

Hallo StevieG,

> ...= [mm]\bruch{4n² +8n +4}{3n³+9n²+12n+6-2}\bruch{3n³-2}{4n²}=[/mm]
> ...
>  
>
> richtig?

Nein, es ist [mm] $3(n+1)^3=3(n^3+3n^2+3n+1)=3n^3+9n^2+9n+3$ [/mm]

Der Nenner im ersten Bruch ist also falsch.

Das ist zwar bei dem jetzt anstehenden Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] unerheblich, aber falsch ist's trotzdem


LG

schachuzipus


Bezug
                                                                
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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Do 23.04.2009
Autor: StevieG

Dann kann ich doch die 4n² im zähler und nenner kürzen, sowie 3n³ ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Do 23.04.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Dann kann ich doch die 4n² im zähler und nenner kürzen,
> sowie 3n³ ?

Schlechter Scherz!

"Aus Summen kürzen ..."

Du müsstest [mm] \text{Zähler}\cdot{}\text{Zähler} [/mm] und [mm] \text{Nenner}\cdot{}\text{Nenner} [/mm] rechnen.

Das gibt dir in Zähler und Nenner als Summand mit der höchsten Potenz von n jeweils [mm] 12n^5 [/mm]

Das ausklammern, kürzen und dann den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm]

Es bleibt beim GW 1 (also hast du mit dem QK keine Aussage), was ja eigentlich schon längst hier im thread geklärt ist ...

LG

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: notwendiges Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Do 23.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Stevie!


Hast Du denn schon das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz überprüft?

Denn nur wenn es sich bei der aufzusummierenden Folge um eine Nullfolge handelt, besteht überhaupt eine Chance auf Reihenkonvergenz.


Gruß
Loddar


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