Konvergenz von Reihen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 So 30.11.2008 | | Autor: | Dalim |
| Aufgabe | | Es sei [mm] a_{n}, n\in\IN [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] a_{n}\ge0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Weiterhin a:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] und a<1. Zeigen sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (a_{n})^{n} [/mm] konvergiert. |
Na ja, ich hab das n bisschen umgeformt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} (a_{n})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-a}
[/mm]
und dann für Partialsumme gilt:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} (a_{n})^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-(a_{n})^{n+1}}{1-a}
[/mm]
das müss eigentlich stimmen, oder?
und wenn das stimmt dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})^{n+1} [/mm] = 0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-a}
[/mm]
MfG [mm] Dalim_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Es sei [mm]a_{n}, n\in\IN[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit
> [mm]a_{n}\ge0[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Weiterhin a:=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] und a<1. Zeigen sie, dass
> die Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (a_{n})^{n}[/mm] konvergiert.
> Na ja, ich hab das n bisschen umgeformt:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (a_{n})^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-a}[/mm]
Die Formel gilt nicht. sie gilt nur falls alle [mm] a_n=a
[/mm]
entsprechend ist der Rest falsch.
Du kannst nur die Konvergenz von [mm] a_n [/mm] gegen ein a<1 benutzen, nicht direkt ne Summenformel!
aber 0<a<1 bedeutet ja [mm] a\le [/mm] 1-r mit 1>r>0
Das kannst du benutzen.
Gruss leduart
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