Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 So 30.11.2008 | | Autor: | Kniwler |
| Aufgabe | Seien (an)n und (bn)n Folgen in R, so dass die Reihen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} (an)^2 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} (bn)^2 [/mm] konvergieren, Zeigen sie dass
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} [/mm] ((an) * (bn)) ist absolut konvergent
(b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} [/mm] ((an)/n) ist konvergent |
Hallo,
Also bis jetzt weiss ich nur dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} [/mm] |an| gegen Null konvergiert ebenso wie die Summe von |bn|. Ausserdem bin ich davon überzeugt dass man die Behauptung mit Hilfe des Majorantenkriteriums beweisen muss. Da bin ich mir aber nicht ganz sicher. Würde man z.B. beweisen können dass (an) <= (bn) oder dass (bn)<=(an) ist für alle n>=irgend ein Wert n0, dann würde mir der Beweis gelingen. Die Aufgabe b) kann man dann ja vielleicht über die Aufgabe a) lösen. Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 So 30.11.2008 | | Autor: | Kniwler |
Sry, ich meinte eigentlich dass |an| und |bn| gegen Null konvergieren! nicht die Summe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 So 30.11.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
man kann sagen das [mm] |a_{n}*b_{n}|< a_{n}^² [/mm] oder kleiner [mm] b_{n}^²
[/mm]
ist glaube ich damit hat eine majorante
gruß lenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 So 30.11.2008 | | Autor: | Kniwler |
Genau das ist die Idee. Nur wie beweist man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien (an)n und (bn)n Folgen in R, so dass die Reihen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} (an)^2[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} (bn)^2[/mm]
> konvergieren, Zeigen sie dass
> (a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}[/mm] ((an) *
> (bn)) ist absolut konvergent
> (b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}[/mm] ((an)/n)
> ist konvergent
> Hallo,
>
> Also bis jetzt weiss ich nur dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}[/mm] |an| gegen
> Null konvergiert ebenso wie die Summe von |bn|. Ausserdem
> bin ich davon überzeugt dass man die Behauptung mit Hilfe
> des Majorantenkriteriums beweisen muss. Da bin ich mir aber
> nicht ganz sicher. Würde man z.B. beweisen können dass (an)
> <= (bn) oder dass (bn)<=(an) ist für alle n>=irgend ein
> Wert n0, dann würde mir der Beweis gelingen. Die Aufgabe b)
> kann man dann ja vielleicht über die Aufgabe a) lösen. Ich
> würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Tipp: [mm] $|a_n*b_n| \le |a_n^2| [/mm] + [mm] |b_n^2|$, [/mm] und die beiden Reihen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} (an)^2[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} (bn)^2[/mm] sind absolut konvergent (warum?).
(b) ist ein Spezialfall von (a).
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 30.11.2008 | | Autor: | Kniwler |
Ok danke ich habs jetzt! Der Rest war ja auch nicht mehr wirklich schwehr! ;)
also die beiden Reihen sind absolut konvergent weil z.B. [mm] (an)^2 [/mm] = an * an = |an * an| = [mm] |an^2| [/mm] und den anderen Teil beweist man wie folgt:
[mm] |an^2|- 2|an||bn|+|bn^2|=(|an|-|bn|)^2 [/mm] >=0 <=> [mm] |an^2| [/mm] + [mm] |bn^2| [/mm] >= 2 |an|*|bn|>= |an|*|bn|. Und darauf wendet man dann das Majoranten-Kriterium an, denn wir wissen dass lim [mm] (\summe_{i=1}^{n }(|an^2|+|bn^2|) [/mm] wegen der Angabe konvergieren muss. Ich bedanke mich recht herzlich für den Tipp.
fG von Kniwler
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