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| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie die angegebene Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{2}}{k^{2}+1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-a)^{k}}{ln(k+1)} [/mm] , [mm] a\in \IR [/mm] |
Hallo,
ein paar Freunde und ich lernen gerade für eine Analysis-Nachklausur. Viele Fragen haben wir schon klären können, aber an diesen Aufgaben scheitern wir einfach.
Wir haben in der Vorlesung vor allem das Quotienten- und das Wurzelkriterium behandelt, deswegen haben wir bei der ersten Aufgabe das Quotientenkriterium angewendet und sind auf folgenden Bruch gekommen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+2k+1}{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}}
[/mm]
Im Grunde sieht man ja schon, dass der Zähler um 2k+1 größer ist als der Nenner, aber reicht das schon aus? Kann man das noch weiter umformen oder sind wir einfach falsch herangegangen?
Bei der 2. Aufgabe haben wir leider nichteinmal einen Ansatz gefunden.
Es wäre sehr nett, wenn uns jemand helfen könnte! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie die angegebene Reihen auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{2}}{k^{2}+1}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-a)^{k}}{ln(k+1)}[/mm] , [mm]a\in \IR[/mm]
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> Hallo,
Hey!
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> ein paar Freunde und ich lernen gerade für eine
> Analysis-Nachklausur. Viele Fragen haben wir schon klären
> können, aber an diesen Aufgaben scheitern wir einfach.
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> Wir haben in der Vorlesung vor allem das Quotienten- und
> das Wurzelkriterium behandelt, deswegen haben wir bei der
> ersten Aufgabe das Quotientenkriterium angewendet und sind
> auf folgenden Bruch gekommen:
Untersuche hier erst einmal ob die notwendige Bedinung [mm] a_n\to [/mm] 0, für [mm] n\to\infty [/mm] erfüllt ist.
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+2k+1}{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}}[/mm]
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> Im Grunde sieht man ja schon, dass der Zähler um 2k+1
> größer ist als der Nenner, aber reicht das schon aus? Kann
> man das noch weiter umformen oder sind wir einfach falsch
> herangegangen?
>
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> Bei der 2. Aufgabe haben wir leider nichteinmal einen
> Ansatz gefunden.
>
Ist die Aufgabe wirklich so richtig abgeschrieben?
Eine Fallunterscheidung für a könnte hier helfen.
> Es wäre sehr nett, wenn uns jemand helfen könnte! Danke!
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße Patrick
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> Untersuche hier erst einmal ob die notwendige Bedinung $ [mm] a_n\to [/mm] $ 0, für $ [mm] n\to\infty [/mm] $ erfüllt ist.
Tut mir leid, aber ich weiß nicht genau was du damit meinst? Ich dachte dass ich genau das versuche herauszufinden? Nämlich wohin $ [mm] a_n [/mm] $ für $ [mm] n\to\infty [/mm] $ geht?
> Ist die Aufgabe wirklich so richtig abgeschrieben?
Ja, ich hab es gerade nochmal überprüft.
> Eine Fallunterscheidung für a könnte hier helfen.
Hmm... wonach soll ich unterscheiden? a < 0 und a > 0 ? Ich sehe nicht wie mir die Fallunterscheidung hilft?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe-Neuling!
Du musst hier unterscheiden zwischen der Reihe (= Aufsummierung) [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm] und der Folge [mm] $a_k$ [/mm] (hier [mm] $a_k [/mm] \ := \ [mm] \bruch{k^2}{k^2+1}$ [/mm] ) , deren einzelen Folgenglieder aufsummiert werden.
Damit die Reihe [mm] $\summe a_k$ [/mm] konvergiert, ist es ein notwendiges Kriterium, dass die aufzusummierende Folge [mm] $a_k$ [/mm] eine Nullfolge ist. Gilt dies nicht, folgt daraus unmittelbar die Divergenz der Reihe.
Gegen welchen Wert strebt also [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}a_k [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^2}{k^2+1}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Danke für die verständliche Erläuterung! Endlich hab ich mal den Unterschied begriffen!
> Gegen welchen Wert strebt also $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_k [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^2}{k^2+1} [/mm] $ ?
Naja im Grunde genommen fast gegen 1, also gegen $ [mm] 0,\overline{9} [/mm] $. Und da die Folge nicht gegen 0 strebt ist die Reihe automatisch divergent. Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe-Neuling!
> Danke für die verständliche Erläuterung! Endlich hab ich
> mal den Unterschied begriffen!
Fein ...
> > Gegen welchen Wert strebt also [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a_k \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^2}{k^2+1}[/mm] ?
>
> Naja im Grunde genommen fast gegen 1,
Nicht nur fast: sondern gegen 1 !
> also gegen [mm]0,\overline{9} [/mm].
Und das ist 1 !
> Und da die Folge nicht gegen 0 strebt ist die Reihe automatisch
> divergent. Oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe-Neuling!
Für $-1 \ < \ a \ < \ +1$ kannst Du die entstehende Reihe gegen eine geometrische Reihe abschätzen.
Weitere gesonderte Fälle wären z.B. $a \ = \ -1$ bzw. $a \ = \ +1$ .
Als letzte des Fall $|a| \ > \ 1$ untersuchen. Gilt hier wieder das notwendige Kriterium, was wir eben schon verwendet haben?
Gruß
Loddar
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> Für $ -1 \ < \ a \ < \ +1 $ kannst Du die entstehende Reihe gegen eine geometrische Reihe abschätzen.
Wenn $ -1 \ < \ a \ < \ +1 $ wird der Zähler des Bruches wenn [mm] $k\to\infty$ [/mm] geht doch 0. Und somit ist der gesamte Bruch 0, oder?
Wie meinst du das "gegen eine geometrische Reihe abschätzen"? Wenn damit das Majorantenkriterium gemeint ist, dann muss ich also eine "größere" Reihe finden, die konvergiert?
> Weitere gesonderte Fälle wären z.B. $ a \ = \ -1 $ bzw. $ a \ = \ +1 $ .
In diesen beiden Fällen konvergiert die zugehörige Folge gegen 0.
> Als letzte des Fall $ |a| \ > \ 1 $ untersuchen. Gilt hier wieder das notwendige Kriterium, was wir eben schon verwendet haben?
Hmmm... in diesem Fall steigt der Zähler schneller an, als der Nenner. Somit geht die folge gegen [mm] \infty. [/mm] Die Reihe divergiert also. Aber wie kann man das "formal" beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Di 14.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Für [mm]-1 \ < \ a \ < \ +1[/mm] kannst Du die entstehende Reihe
> gegen eine geometrische Reihe abschätzen.
>
> Wenn [mm]-1 \ < \ a \ < \ +1[/mm] wird der Zähler des Bruches wenn
> [mm]k\to\infty[/mm] geht doch 0. Und somit ist der gesamte Bruch 0,
> oder?
> Wie meinst du das "gegen eine geometrische Reihe
> abschätzen"? Wenn damit das Majorantenkriterium gemeint
> ist, dann muss ich also eine "größere" Reihe finden, die
> konvergiert?
ja, du musst ein q<1 finden, so dass ab einem n alle glieder der Reihe [mm] \le q^n [/mm] sind
> > Weitere gesonderte Fälle wären z.B. [mm]a \ = \ -1[/mm] bzw. [mm]a \ = \ +1[/mm]
> .
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> In diesen beiden Fällen konvergiert die zugehörige Folge
> gegen 0.
aber fuer a=1 sind alle [mm] a_n>1/k [/mm] also ist die divergente harmonische Reihe ne Minorante.
fuer a=-1 eine alternierende Nullfolge nach Leibniz konvergent!
> > Als letzte des Fall [mm]|a| \ > \ 1[/mm] untersuchen. Gilt hier
> wieder das notwendige Kriterium, was wir eben schon
> verwendet haben?
>
> Hmmm... in diesem Fall steigt der Zähler schneller an, als
> der Nenner. Somit geht die folge gegen [mm]\infty.[/mm] Die Reihe
> divergiert also. Aber wie kann man das "formal" beweisen?
du musst zeigen dass ab einem n alle glieder groesser als ein fester Wert c sind. denk dran ln(k+1)<k damit kannst du abschaetzen [mm] a^k/k>1 [/mm] fuer k>... oder [mm] a^k/k>0,1 [/mm] oder so.
also einfach die Worte der Zaehler wird groesser als der Nenner durch ne Angabe belegen
Gruss leduart
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ok, danke für die hinweise! hab es jetzt damit lösen können :)!
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