Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Knievel |
| Aufgabe | 1. Sind folgende Reihen in [mm] \IR [/mm] konvergent?
a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n}{2n + n}[/mm]
b) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^n * \left(\wurzel{n+1}*\wurzel{n} \right)[/mm]
c) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2^n}{!n}[/mm]
Begründen Sie ihre Antwort!
Tipp: Welche Konvergenzkriterien sind anwendbar? |
Moin Moin
Und mal wieder mitten in der Klausurvorbereitung
zu a)
[mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{n}{2n + n} = \bruch{n \left(1\right)}{n \left(2+1\right)} = \bruch{1}{3} \not= 0 [/mm]
Somit können wir diesen Teil schon abschließen, da die notwendige Bedingung nicht erfüllt wurde.
zu b)
[mm]\lim_{n\to \infty} \left(-1 \right)^n\left(\wurzel{n+1} * \wurzel{n}\right)[/mm] Klammer ausgerechnet ergibt [mm]\left(-1\right)^n * \wurzel{n^2+n}[/mm]
Wie können wir nun in dieser Folge den Grenzwert von Null beweisen, uns bereitet dort der alternierende Faktor kopfzerbrechen.
Ansonsten würden wir aufgrund des alternierenden Faktors schonmal auf das Leibniz-Kriterium schließen.
zu c) Auch hier die Frage des notwendigen Kriteriums.Man sieht zwar auf den ersten Blick, das diese Folge gegen 0 konvergiert. Wir hatten leider in den Übungen noch nie mit der Fakultät zu tun und tun uns ziemlich schwer damit den Grenzwert zu beweisen.
Schonmal herzlichen Dank für die Zeit und Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube, in b) ist ein Tippfehler, kontrollier das mal. das soll zwischen den Wurzeln bestimmt ein Minus sein, oder?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Knievel |
Nein
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^n \cdot{} \left(\wurzel{n+1}\cdot{}\wurzel{n} \right)[/mm] ist die original Aufgabe. Habe extra nochmal nachgesehen
|
|
|
| |
|
> Nein
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^n \cdot{} \left(\wurzel{n+1}\cdot{}\wurzel{n} \right)[/mm]
> ist die original Aufgabe. Habe extra nochmal nachgesehen
Na so etwas!
dann hiermit meine allerwärmste Empfehlung an Euch, wenn Ihr am Üben seid: beschäftigt Euch auch mit "meiner" Aufgabe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> 1. Sind folgende Reihen in [mm]\IR[/mm] konvergent?
>
> a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n}{2n + n}[/mm]
>
> b) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^n * \left(\wurzel{n+1}*\wurzel{n} \right)[/mm]
>
> c) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{2^n}{!n}[/mm]
>
> Begründen Sie ihre Antwort!
> Tipp: Welche Konvergenzkriterien sind anwendbar?
> Moin Moin
>
> Und mal wieder mitten in der Klausurvorbereitung
>
> zu a)
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{n}{2n + n} = \bruch{n \left(1\right)}{n \left(2+1\right)} = \bruch{1}{3} \not= 0[/mm]
>
> Somit können wir diesen Teil schon abschließen, da die
> notwendige Bedingung nicht erfüllt wurde.
Hallo,
ja, so ist es.
>
> zu b)
>
> [mm]\lim_{n\to \infty} \left(-1 \right)^n\left(\wurzel{n+1} * \wurzel{n}\right)[/mm]
> Klammer ausgerechnet ergibt [mm]\left(-1\right)^n * \wurzel{n^2+n}[/mm]
> Wie können wir nun in dieser Folge den Grenzwert von Null
> beweisen, uns bereitet dort der alternierende Faktor
> kopfzerbrechen.
> Ansonsten würden wir aufgrund des alternierenden Faktors
> schonmal auf das Leibniz-Kriterium schließen.
Wie in meiner Mitteilung erwähnt gehe ich davon aus, daß ein Minus zwischen die Wurzeln gehört.
Um das Leibnizkriterium anzuwenden ist zu zeigen, daß [mm] a_n:=\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] eine nichtnegative Nullfolge ist.
Falls in der Aufgabe wirklich multipliziert wird, seid Ihr schnell fertig, denn [mm] b_n:=\wurzel{n^2+n} [/mm] ist ja keine Nullfolge. Im Gegenteil.
>
> zu c) Auch hier die Frage des notwendigen Kriteriums.Man
> sieht zwar auf den ersten Blick, das diese Folge gegen 0
> konvergiert. Wir hatten leider in den Übungen noch nie mit
> der Fakultät zu tun und tun uns ziemlich schwer damit den
> Grenzwert zu beweisen.
Daß Ihr sagt, was der Grenzwert ist, verlangt hier keiner von Euch. Es soll lediglich die frage nach der Konvergenz beantwortet werden.
Was n! ist, werdet Ihr ja wissen. dann schreibt halt mal ein paar Folgenglieder auf, damit klar wird, wie die funktionieren.
Tipp: abschätzen mit dem Majorantenkriterium (geometrische reihe).
Gruß v. Angela
|
|
|
|
