Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{2^k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k+1)^k}{k^{k+1}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k!)^2}{(2k)!}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{log(k)} [/mm] |
Hallo, ich mache gerade meine ersten Versuche mit Konvergenz von Reihen und bin da noch nicht so wirklich sicher, wäre nett wenn sich das mal jemand ansehen könnte:
zu a) Mit dem Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{\bruch{k+2}{2^{k+1}}}{\bruch{k+1}{2^k}} [/mm] = [mm] \bruch{k+2}{2^{k+1}}*\bruch{2^k}{k+1}=\bruch{2^k(k+2)}{2^{k+1}(k+1)}=\bruch{k+2}{2(k+1)}=\bruch{k+2}{2k+2}=\bruch{1+\bruch{2}{k}}{2+\bruch{2}{k}} \to \bruch{1}{2} [/mm] für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Also gibt es eine Zahl [mm] q(=\bruch{1}{2})<1 [/mm] mit [mm] \vmat{ \bruch{a_{k+1}}{a_k} } \le [/mm] q ab einem n [mm] \in \IN, [/mm] also konvergiert die Reihe. Ist dann [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auch direkt der Grenzwert?
Hab ich das so richtig verstanden? Zu Aufgabe b) bräuchte ich mal einen kleinen Ansatz. die anderen aufgaben habe ich ähnlich wie a) gelöst, wollte die allerdings noch nicht reinstellen, falls mein system falsch ist 
vielen dank schon mal im voraus.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
>
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{2^k}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k+1)^k}{k^{k+1}}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k!)^2}{(2k)!}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{log(k)}[/mm]
> Hallo, ich
> mache gerade meine ersten Versuche mit Konvergenz von
> Reihen und bin da noch nicht so wirklich sicher, wäre nett
> wenn sich das mal jemand ansehen könnte:
>
> zu a) Mit dem Quotientenkriterium:
> [mm]\bruch{\bruch{k+2}{2^{k+1}}}{\bruch{k+1}{2^k}}[/mm] =
> [mm]\bruch{k+2}{2^{k+1}}*\bruch{2^k}{k+1}=\bruch{2^k(k+2)}{2^{k+1}(k+1)}=\bruch{k+2}{2(k+1)}=\bruch{k+2}{2k+2}=\bruch{1+\bruch{2}{k}}{2+\bruch{2}{k}} \to \bruch{1}{2}[/mm]
> für k [mm]\to \infty.[/mm]
> Also gibt es eine Zahl
> [mm]q(=\bruch{1}{2})<1[/mm] mit [mm]\vmat{ \bruch{a_{k+1}}{a_k} } \le[/mm] q
> ab einem n [mm]\in \IN,[/mm] also konvergiert die Reihe. Ist dann
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auch direkt der Grenzwert?
der rot markierte Satz ist leider grober Unsinn, denn hier ist stets [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k} [/mm] > [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] (Wobei man hier beachten sollte, dass dort eigentlich [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ [/mm] steht, hier aber der Betrag nicht notwendig ist, da [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k} [/mm] > 0$ stets).
Das erkennst Du selbst oben an dieser Darstellung:
[mm] $...=\bruch{k+2}{2(k+1)}=...$
[/mm]
ABER:
Du hast [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{a_{k+1}}{a_k} \to \frac{1}{2}$ [/mm] erkannt.
Weil [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k} \to \frac{1}{2}$, [/mm] kannst Du zu einem $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] ein [mm] $K=K_{\varepsilon}$ [/mm] finden, so dass
[mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k} \in \left(\frac{1}{2}-\varepsilon,\frac{1}{2}+\varepsilon\right)$ [/mm] für alle $k [mm] \ge K_\varepsilon$.
[/mm]
Wenn Du nun z.B. [mm] $\varepsilon=\frac{1}{4}$ [/mm] setzt, so bekommst Du [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] < [mm] \frac{3}{4}$ [/mm] (genauer sogar: [mm] $\frac{1}{4} [/mm] < [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] < [mm] \frac{3}{4}$) [/mm] ab einem genügend großen $K$.
Und nein:
Warum sollte die Reihe gegen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] konvergieren, nur weil das [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ [/mm] tut? Zudem ist gar nicht nach dem Grenzwert der Reihe gefragt. Also mach' Dir nur Gedanken, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Und die Konvergenz ist hier bewiesen (es geht allerdings nur mit einem [mm] $\frac{1}{2} [/mm] < q < 1$, d.h. z.B. [mm] $q=\frac{3}{4}$ [/mm] geht, aber [mm] $q=\frac{1}{2}$ [/mm] kannst Du nicht wählen).
> Hab ich das so richtig verstanden? Zu Aufgabe b) bräuchte
> ich mal einen kleinen Ansatz. die anderen aufgaben habe ich
> ähnlich wie a) gelöst, wollte die allerdings noch nicht
> reinstellen, falls mein system falsch ist
Was sollte an dem System falsch sein? Du hast oben einen logischen Fehler, als Du sagtest, dass [mm] $q=\frac{1}{2}$ [/mm] gewählt werden kann. Das geht nicht, mach' Dir das bitte klar. Ansonsten muss man halt hier ein wenig gucken und testen, ob einem:
Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leibnizkriterium, Cauchyscher Verdichtungssatz etc.
vll. helfen. Wenn man bei der Rechnung für eines der Kriterien hängenbleibt, nimmt man vll. ein nächstes.
Zu Aufgabenteil b):
Dort ist [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] mit
[mm] $a_k=\frac{(k+1)^k}{k^{k+1}}$.
[/mm]
Eine leichte Umformung zeigt:
[mm] $a_k=\frac{(k+1)^k}{k^{k+1}}=\left(\frac{k+1}{k}\right)^k *\frac{1}{k}=\frac{1}{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm]
Erinnerst Du Dich nun daran, dass die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend (gegen $e$) ist (ich hoffe, ihr habt das bewiesen, ansonsten: ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Beispiel 5.13), so folgt:
Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist oben
[mm] $a_k \ge 2*\frac{1}{k}$
[/mm]
Und nun denke an eine divergente Minorante für [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ah ja ok, also aufgabe a hab ich verstanden, hier mal aufgabe c) auch mit der quotientenregel:
[mm] \bruch{\bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}}{\bruch{(k!)^2}{(2k)!}} [/mm] = [mm] \bruch{(2k)!((k+1)!)^2}{(k!)^2(2k+2)!}=\bruch{(2k)!(k!(k+1))^2}{(k!)^2(2k+2)!} =\bruch{(2k)!(k!)^2(k+1)^2}{(k!)^2(2k+2)!}=\bruch{(2k)!(k+1)^2}{(2k+2)!} =\bruch{(2k)!(k+1)^2}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}=\bruch{(k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)} [/mm]
[mm] =\bruch{k^2+2k+1}{4k^2+6k+2}=\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^2}}{4+\bruch{6}{k}+\bruch{2}{k^2}} \to \bruch{1}{4} [/mm] für k [mm] \to \infty, [/mm] also ist auch c) konvergent.
Bei d) bin ich mir allerdings etwas unsicher (auch Quotientenregel):
[mm] \bruch{(-1)^{k+1}*log(k)}{log(k+1)*(-1)^k}=-\bruch{log(k)}{log(k+1)} [/mm] wenn man nun k [mm] \to \infty [/mm] laufen lässt steht da ja sowas wie [mm] -\bruch{log(\infty)}{log(\infty)}=-\bruch{\infty}{\infty} [/mm] das sieht nach L'Hospital aus, dann folgt ... [mm] =\bruch{k+1}{k}=1+\bruch{1}{k} \to [/mm] 1 für k [mm] \to \infty. [/mm] Mit der 1 kann ich aber nichts anfangen, oder? heißt das ich muss ein anderes kriterium wählen, oder heißt das, dass generell keine aussage über die konvergenz getroffen werden kann?
mfg
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Hallo rainman,
> Ah ja ok, also aufgabe a hab ich verstanden, hier mal
> aufgabe c) auch mit der quotientenregel:
>
> [mm]\bruch{\bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}}{\bruch{(k!)^2}{(2k)!}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(2k)!((k+1)!)^2}{(k!)^2(2k+2)!}=\bruch{(2k)!(k!(k+1))^2}{(k!)^2(2k+2)!} =\bruch{(2k)!(k!)^2(k+1)^2}{(k!)^2(2k+2)!}=\bruch{(2k)!(k+1)^2}{(2k+2)!} =\bruch{(2k)!(k+1)^2}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}=\bruch{(k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)}[/mm]
> [mm]=\bruch{k^2+2k+1}{4k^2+6k+2}=\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^2}}{4+\bruch{6}{k}+\bruch{2}{k^2}} \to \bruch{1}{4}[/mm]
> für k [mm]\to \infty,[/mm] also ist auch c) konvergent. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sehr gut!
>
> Bei d) bin ich mir allerdings etwas unsicher (auch
> Quotientenregel):
>
> [mm]\bruch{(-1)^{k+1}*log(k)}{log(k+1)*(-1)^k}=-\bruch{log(k)}{log(k+1)}[/mm]
Du musst ja [mm] $\red{\left|}\frac{a_{k+1}}{a_k}\red{\right|}$ [/mm] betrachten, bekommst also [mm] $\red{+}\frac{\log(k)}{\log(k+1)}$ [/mm] heraus
> wenn man nun k [mm]\to \infty[/mm] laufen lässt steht da ja sowas
> wie
> [mm]-\bruch{log(\infty)}{log(\infty)}=-\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
> das sieht nach L'Hospital aus, dann folgt ...
> [mm]=\bruch{k+1}{k}=1+\bruch{1}{k} \to[/mm] 1 für k [mm]\to \infty.[/mm] Mit
> der 1 kann ich aber nichts anfangen, oder? heißt das ich
> muss ein anderes kriterium wählen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , oder heißt das, dass
> generell keine aussage über die konvergenz getroffen werden
> kann?
> mfg
genau, die Reihe ist doch alternierend, also könntest du das Leibnizkriterium probieren.
Was besagt das und was musst du folglich nachprüfen?
LG
schachuzipus
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Hallo, erstmal danke für die Antwort. Also wir haben das Leibniz-Kriterium so definiert:
Ist [mm] (a_k) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge in [mm] [0,\infty), [/mm] so ist die alternierende Reihe [mm] \summe_{k\ge 1}^{}(-1)^{k+1}a_k [/mm] konvergent.
Ich hab mir gedacht, ich schreib Aufgabe d) dann erstmal etwas anders hin:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{log(k)}=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{log(k+1)} [/mm] dann ist ja das [mm] a_k [/mm] aus der Definition [mm] \bruch{1}{log(k+1)}, [/mm] was eine monoton fallende Nullfolge ist, also ist d) konvergent.
Kann man das so machen?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo rainman_do!
Das ist so möglich ...
Gruß
Loddar
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